数形结合，高中数学教学的永恒途径

康浩

[摘 要] 数形结合是数学教学的基本思路，结合具体的教学实例来激活学生数形结合的意识，并在数学问题的分析与解决中归纳出数形结合的思路，是高中数学教学的有效途径. 从数学与生活关系来思考，数形结合则是数学服务于生活的重要认识.

[关键词] 高中数学；数形结合；数学教学

数学是研究数与形的科学，数学教学的对象就是数与形.在高中数学教学的编排中，数与形既有区别又有联系，而数形结合作为数学教学的优秀传统，一直是高中数学教学的热点. 从教学实际来看，高中数学教学常常容易受高考的影响，一个重要的表现就是数学教师在课堂上呈现给学生的数学问题，一般来讲都是来自于最近两三年的高考试卷，这样的策略显然具有实际意义. 而从培养学生数学思维的角度来看，事实上也存在一些经典试题，在这些试题身上所表现出来的价值，可以让学生在解决过程中收获数学素养. 数形结合就是其中之一！

数形结合有双重理解：从数学知识的角度来看，数与形就是内容不同的两种数学研究对象；而从学生的思维加工来看则有着更大的启发意义：数是什么？数是对生活世界的抽象，最初的数是计数的产物，后来随着数学的发展，数还成为数学公式加工的对象. 抽象是数的最大特征，高中数学教学中凡是涉及数的加工的，都是高度抽象的，自然也就是学生比较头疼的；而形是什么，纵观学生的数学学习过程，可以看出基础数学学习过程中的形就是生活对象的简单化处理，后来的形成为数学构造的产物，比如说函数的图象等. 但显而易见的是，在形的学习中如果暂不考虑数量关系，那学生的思维对象要直观、形象得多，因而相对而言，对形的学习与研究也是学生更容易接纳的范畴. 做出这样的对比，是想对当前高中数学教学提出更有意义的思考，那就是高中数学教学过程中，如何实现有意义的数形结合，从而让学生可以在形象与抽象的加工对象之间实现顺利的转换，最终实现数学的有效学习. 下面通过一则例子来说明.

一道“不起眼”的数学习题

在向量教学中，笔者给学生呈现了这样的一道题目：若a=1，b=2，c=a+b且c⊥a，求a与b的夹角.

这道题目有其不起眼的地方，作为提供的两个向量a和b，形式简单、数字简洁，而给出的第三个向量与原先两个向量之间所存在的关系，则是一种大小与方向的关系，而这在向量问题当中这也再平常不过.因此要求原先给出的两个向量的夹角，不过是已有数学知识的相对直接运用而已. 具体在解本题时，可以从纯粹的向量计算角度给出这样的求解思路：因为c⊥a，所以可知c和a两向量相乘的结果必然是0，也就是说a和b两向量之和与a向量的乘积也是0. 这样就可以得出a和b两个向量的乘积结果为-1，而这也就意味着a和b两个向量的余弦值为-，从而可以得出夹角为120度.

但多年的教学经验也让笔者认识到，即使最为简单的数学题背后，都是存在可发掘的价值的.这道向量试题因为简单，实际上也就具有了相当的代表性，类似于c=a+b以及c=a-b等向量的计算，实际上都是建立在这种类型的题目的基础之上的，因此，发掘这种代表性，应当成为培养学生在数学问题解决中发散性思维的重要教学思路. 更重要的是，在实际教学中，如果能够让学生有所生成，并且在学生生成的基础上获得新的认识，那源于本题的教学价值就彰显得非常充分了.

一个很正常的解题直觉

在实际教学中，有三分之二左右的学生能够如上面的解题思路一样给出答案，这说明笔者起初的预设还是正确的. 在此基础上，笔者思考如何将学生的思维进一步引向深入. 在这个时候，笔者注意到一个学生的解题可能存在着发掘价值.

这个学生是这样想的：既然是向量题目，那就可以结合向量的定义来进行. 笔者追问他是什么意思的时候，他回答：对于向量的计算不应当拘泥于纯粹的代数的运算，也可以从图形的角度来考虑，因为向量原本就应当是图形，向量就是有向线段.

这样的回答在课堂上引起了热烈的讨论，相当一部分学生的思维都从数开始向形进行转换. 而在笔者看来，这个学生（数学基础中游的一个学生）的思维其实也很符合数学学习的直觉，因为这一类学生在数学学习中，形象思维往往总能够在关键时刻发挥作用，尤其是抽象思维能力相对较弱的学生而言，认知的特点决定了他们往往会在问题解决中选择形象思维. 而这意味着数与形之间的转换，可以成为数学教学的重头戏，而数形结合则可以成为数学教学的更高指向.

结合本题，如果将问题解决的思路由数转向形，那具体可以如何求解呢？分析原题可知，如果已经知道了向量a和b的大小以及c与a的关系，那么就可以借助于图形来构建这样的关系，而这一点对于学生来说并不是一件难事，因为建立在向量概念基础之上的关于向量大小与方向关系，对于学生来说通过作图来表示，还是比较简单的. 而有了这样的思路，学生就可以通过图形来表征原题所给出的信息，这样就实现了由数向形的转换.

事实上笔者在课堂上还做了一个工作，那就是对提出这一思路的学生大加赞扬，强调其思维在由数向形的转换过程中，表现出很好的数形结合思想. 对于这位学生来说，这样的表扬是激励性的，而对于其他学生来说，这样的表扬则是引导性的，可以从点与面两个角度对数形结合的思想予以强调.

一步有价值的解题延伸

在进行了上述挖掘之后，笔者在教学中做出了适当的调整，对于原来准备的另一个关于向量计算的题目进行了适当的改编. 原题是这样的：已知非零向量a，b，则a=b=a-b=2，则a+b=________，a+b与b夹角为________.

在学生有了上述数形结合的思路之后，笔者提高了解题要求：不只是求出结果，而是分别用数与形两种思路来进行求解.

这样的要求引发了部分学生的异议，他们认为只要能够求出结果就行了，不需要用两种方法，更有部分基础较好的学生认为自己能够一下子选出最好的方法，就没有必要再用繁杂的方法了. 针对这些想法，笔者力排众议，明确要求不仅需要两种方法，还要那些基础较好的学生去比较两种方法，并发现两者之间的优缺点.

由于要求的提高，因此不同层次的学生都有了自己不同的任务. 这样的任务驱动加上分层教学的思想，使得全体学生都能够在较长时间内沉浸在本题的解决过程当中. 事实上，无论是数的思路，还是形的方法，本题的解决都不算特别困难，绝大多数学生都能在预定时间内给出两种方法. 但笔者需要的是在此基础上对两种方法的对比，这样的教学要求实际上是为了学生在数形结合的过程中多一份理性思考，即不仅知道有两种方法的存在，还需要知道两种方法的不同. 而当学生在比较的过程进行讨论合作之后，他们也确实发现了：在向量问题的解决过程中，数的思路需要较强的逻辑思维能力，一旦有了这样的能力支撑，那解题过程就比较简洁，逻辑性也强；而用形的思路去解题，实际上既需要将原题由数转换成形，也离不开数的运算，只不过运算起来没那么复杂而已.

说这样的教学设计存在价值，还是因为在此比较的过程中，学生可以收获更为高级的数学学习认识. 学生为什么感觉基于图形时计算就没有那么复杂，那是因为学生此时的思维对象有形象的图像支撑，而数学基础好的为什么有时又不需要这样的过程，那是因为他们的逻辑思维强，思维时能够以抽象的数以及数的运算法则为对象. 这就是思维能力不同的高中学生在数学学习过程中的不同表现，也提醒我们，即使是最简单的数学题目，即使是同样都得到了正确的结果，但学生的思维仍然是不同的，而因材施教也就有了存在的必要.

一节需进一步总结的课

从本课的教学来看，本课的预设与生成其实都是围绕一个主题来进行的，那就是向量问题解决中的数形结合. 而事实上高中数学的学习中，数形结合本来就是常态，但为什么很多时候学生的思维中往往只有数而没有形，或者只有形而没有数呢？这可能与学生的学习方式有关，也与教师的教学方式有关.

数形结合原本是重要的数学思想，基于形而去理解数（包括数的运算规则），基于数而去构建形，应当成为数学学习的一种良好直觉. 如果需要进一步总结，笔者以为关键有三：一是数形结合的依托是什么；二是数形结合意识的培养；三是数形结合思想的建立. 对于第一、二两个问题，笔者以为答案在于数学问题解决，因为这是一个综合性最强、指向性最强的教学过程，可以有效激活学生数形结合的意识；而对于第三个问题，笔者以为则需要引导学生对数形结合类的数学问题进行归类，并从中概括出基本的分析思路与数形结合办法. 事实上，数形结合不仅是数学的，更是生活的，在生活中很多时候都是在形的思维基础上去进行数的思考. 基于数学与生活联系的思考，数形结合也应当在高中数学教学中获得更广泛的存在.