高中生数学认知理解的过程研究

刘文蛟

[摘 要] 本文采用口语报告法与访谈法相结合的方式对部分高中生进行了调查，在对调查结果的分析与推理的基础上，明确了影响学生数学认知理解的主要方面是知道新知识“是什么”和“如何生成”的. 根据上述结果分析整理出数学认知理解的内部心理过程是新知识纳入原有认知结构中，与相关知识建立本质联系，形成编码系统；接下来认知主体自觉调用各种相关的旧知识将新知识推演出来，理顺新旧知识之间的联系，从而形成新旧知识之间广泛和本质的联系.

[关键词] 高中生；数学认知理解；过程研究

问题提出

数学认知理解的研究一直受到专家学者的青睐，这些研究多集中在数学认知理解的内涵层次、数学认知理解的特点等方面. 对于数学认知理解的过程研究鲜有涉及，特别是对于数学认知理解的内部心理过程的研究一直是空白.弄清楚认知理解的内部心理过程无疑是有意义的. 为此，笔者在江西省赣州市第一中学抽取了部分高中生进行了调查，获得了一些有意义的结果.

研究设计

1. 被试

随机抽取江西省赣州市第一中学40名高三学生作为被试. 之所以选取高三学生作为被试，原因是我们认为高三的学生不仅具有较好的数学基础知识，而且具有较好的表达能力.

2. 研究方法

口语报告法、访谈法.

3. 研究素材

采用在初步调查基础上自编形成的数学认知材料，旨在了解对于一项数学知识而言哪些相关材料可以帮助学生对其实现理解. 通过调查，我们得到的结果是：数学知识的定义、例子、图形解释和操作方法与步骤是最有价值的，可以帮助学生实现理解. 另外，根据初步调查，这些材料又大体可以分为两类，第一类是关于这项数学知识是什么的材料，第二类是关于这项数学知识是如何生成和操作的材料. 我们本次调查设计的认知材料主要是由上述一些材料构成的. 本调查采用的认知材料共分为三类数学知识，即数学概念、图形和定理，每类知识中包含三套认知材料，即在本次调查中共使用九套认知材料.

4. 过程设计

①由笔者担任主试，采取单独调查的方式，对每名被试均使用三套不同数学知识类型的认知材料进行调查. 为调查方便，将认知材料中的解释内容按条目制成卡片的形式.

②认知材料的使用方法采用循环交叉方法，以三名被试为一次循环.

③具体调查过程是：首先从材料中拿出标有数学概念（或定理、图形）的一张卡片，问被试是否见过或理解，如果被试的回答是否定的则继续进行下面的步骤，否则更换材料或是停止对其调查. 接下来呈现给被试关于这个知识的完整的认知材料，包括上述知识的定义、例子、图形解释、操作方法和步骤等，让被试阅读.之后问被试是否理解了这个新的数学概念（或定理、图形）？是怎么理解的？哪些材料起到了关键的作用？之后让被试根据自己的理解过程将材料进行排序，并解释为什么要这样排序.在这个过程中，凡是被试思考的过程都要求出声思维. 接下来呈现给被试第二套、第三套材料，具体调查过程如上，只是不再要求被试将相应认知材料进行排序.

④整个过程中，请助手（共三名）详细记录被试使用的认知材料、在思维过程中的语言、表情、动作以及被试最后对认知材料的解释和排序情况.

研究过程与结果

2015年4月笔者在江西省赣州市第一中学分两次随机抽取了40名高三学生参加此次调查，参与的学生中女生28名，男生12名. 每名学生调查时间约30分钟. 调查之后，笔者对三名助手的记录材料进行了综合分析，并按照口语报告法的要求进一步整理与分析，最终得到如下结果：

1. 数学认知理解的开端是猜想

在此次研究中，每当主试只将某个新的数学概念的名称或定理或图形呈现给被试时，他们首先都会根据它的外部表现的某些特点展开猜想，猜想这个数学概念可能是什么，这个数学图形可能是什么图形等. 为了确定自己的猜想有些被试还尝试与主试交流，询问该知识是否是这个、是否是那个等等. 如，当主试出示给被试罗马数字LLLMMMMMDCCXXXIV的时候，不少被试首先猜想它可能是一个英文单词，还有的被试猜测它是一个广告牌符号.

2. 完整的数学认知材料是被试理解新知识

在研究中笔者发现当被试在阅读过完整的解释材料后，都能完全理解相应的数学知识，都表现出豁然开朗的神情，都能够轻松地回答主试的询问，并能够自如地、毫无障碍地叙述他所理解的数学知识. 有的被试还能够按照材料中的说法给出其他的例子或者是进行简单的应用. 例如在理解了半正多面体这个知识后很多学生都可以独立地自己构造出一个新的半正多面体；在理解了楔形文字后可以随意地写出一个楔形文字或者是轻松地认读某个楔形文字.

3. 对于数学认知理解最重要的材料是概念定义和定理叙述与解释

当被试理解了主试呈现给他的新知识之后问及哪些材料对其理解帮助最大时，多数被试均表示是概念的定义和定理的解释与叙述作用最大. 其次是概念形成材料和数学证明材料.

4. 概念定义和定理解释的作用

当问及被试概念的定义和定理的解释在他们理解相应的数学知识过程中所起的作用时，被试一致反映：概念的定义帮助他们知道了概念的特点，知道了此概念和以前哪些数学概念有关系，有什么关系，由此帮助他们知道了此概念属于哪一类数学概念，应该与哪些数学概念相结合进行掌握；定理的解释帮助他们知道了该定理的含义，知道了此定理与相关其他定理的差别，也由此知道了此定理属于一个什么结论.

5. 形成材料和定理证明的作用

当问及形成材料和定理证明的作用时，被试的回答是：形成材料使他们知道了数学概念的构成、表达和符号的写法等，也就是知道了如何操作；定理证明使他们知道了数学定理是怎么得来的，利用了哪些以前学习过的数学知识，是怎么由已知条件推理出来的，由此理顺了新旧知识之间的关系，解除了心头疑惑.

6. 被试在只获得“是什么”的材料情况下不能完全理解新知识

在研究过程中，当主试呈现给被试只说明该数学知识“是什么”的材料后，被试均表示对其不能完全理解，总会存有疑问. 他们表示虽然知道了一些关于这项数学知识的一些信息，了解了他们是什么了，但是不知道它们是如何得来的，更不知道在什么情况下如何来应用这个数学知识，因此仍感到一些疑惑，甚至有个别被试当时还表现出了一定程度的焦躁.

7. 被试在只获得“如何生成”的材料情况下也不能完全理解新知识

研究发现，当主试呈现给被试只是说明某个数学知识是“如何生成”的材料后，其也都表示不能完全理解该知识，并且有很大的疑问. 他们表示虽然知道了怎么来构造这个知识，却不知道构造的是什么，为什么要构造这个知识，它有什么用处，疑问一个接着一个. 甚至有的学生表示对这个说明“如何生成”的材料根本无法理解，无法想象，不知道它要说的是什么.

结论与思考

通过对以上结果的分析可以发现，学生对新的数学知识的理解一般是由对新知识的猜测开始的；在理解过程中，概念的定义和定理的解释等能让学生知道该数学知识“是什么”的材料与能使学生知道该数学知识是“如何生成”的材料起了关键作用，二者缺一不可；关于新知识“是什么”的材料帮助学生发现了新知识的特点，找到了新旧知识之间的联系；关于“如何生成”的材料帮助学生了解了新知识的生成方法和过程，知道了如何操作才能写出相关的符号、公式和画出图形等. 学生对新数学知识的理解可以分两步：先是理解其是什么，然后再是理解其是怎么生成的，也就是如何操作和如何由相关的知识推演出来的.

由此，我们认为：

1. 学生对新数学知识的理解是一个积极的主动的过程. 学生从接触到新知识的那一刻起就积极地调动原认知结构中的有关知识不断尝试来认知该项知识. 在整个过程中也始终保持这种态度，否则其在了解了新知识的部分材料时就不会再有疑惑. 但是当学生仍有疑惑，说明其在获得了部分信息之后还想获得更多的更全面的信息.

2. 学生对新数学知识的理解是将新知识与旧知识进行联系的过程. 这个联系不仅包括新知识与相关的旧知识之间的联系，也包括新知识与整个数学认知结构中知识的联系，还包括与学生整个认知结构内知识的联系. 这可以从学生在理解新数学知识的过程中对上述两类材料都需要的情况下可以看出来. 从学生对第一类材料的需要可以看出其在理解的过程中建立了新知识与原认知结构中相关知识的联系，从对第二类材料的需要可以看出学生在理解过程中建立了新知识与原有认知结构中多方面知识的联系.

3. 学生对新数学知识的理解也是一个用旧知识推演新知识的过程. 这里的推演不仅包括演绎推理、类比推理，还包括各种变化和操作等. 这可以从学生在完全理解新知识的过程中需要第二类材料的帮助可以看出来. 第二类材料主要是展示一个概念是如何表示的、数学符号是如何写成的、一个图形是如何画出来的和一个数学定理是如何证明出来的一些材料. 这些材料理顺了学生心中杂乱的头绪，剔除了存留的疑惑，这充分说明学生在积极理解新数学知识时头脑中有一个由旧知导新知的过程.

由此，学生对新数学知识的理解过程最终是一个建立新旧知识之间实质联系的过程，也就是一个非人为的新旧知识之间有恰当逻辑顺序关系的过程. 这个关系一旦建立，则新知识与原有知识之间就有了多方面的联结，这种联结不仅有新数学知识与旧数学知识之间的联系，而且还有新数学知识与原认知结构中其他方面知识的联结；这种联结不仅牢固而且顺畅，学生完全可以利用原来的旧知识将新知识写出来、说出来、画出来、类比出来或是演绎出来等等.

结合以上结论我们认为学生理解一项新的数学知识的内部心理过程应当是如下一个过程：当学生接触到一项不理解的数学知识时，首先是分析这项数学知识的特点，然后根据这个特点，迅速在原有认知结构的众多图式中进行搜索，当搜索到相似的知识时进行比较时，看二者是不是相同，看新知识是不是能纳入这项知识的图式中，与其建立上位或下位关系，也就是建立编码系统. 这里的搜索空间不仅有数学认知结构而且也包括其他的认知结构. 但如果学生提前知道这项新的知识是数学知识，则学生就会主要在数学认知结构中搜索. 这种搜索一直在迅速而不停地进行着，直到找到一项恰当的或比较恰当的知识来与新知识建立联系. 如果不能做到，学生就不能产生理解. 然后，大脑再进行下一步工作，即是充分调用大脑中认知结构中的众多知识，尝试用旧知识将新知识推演出来. 推演的方法有很多，学生在这里尝试的主要是推理、变化、构造等. 这里需要调用许多旧知识，不仅有数学的旧知识而且还有其他方面的知识，比如文字方面的、符号方面的、操作方法方面的等等. 如果学生能利用原有的知识将新知识推演出来，学生就达到了彻底理解；如果不能，就仍存有疑惑，不能完全理解.

综上所述，我们认为高中生数学认知理解的过程实际上是一个基于新知识的特点在头脑中进行双向操作的过程，第一个方向的操作是将新知识纳入认知结构中，与相关知识建立本质联系，形成编码系统；第二个方向的操作是主体自觉调用各种相关的旧知识将新知识推演出来，理顺新旧知识之间的联系，从而形成新旧知识之间广泛的和本质的联系.