高中数学概念构建的有效途径

吴明明

[摘 要] 高中数学教学中，概念教学的时间和空间常常会被解题教学所侵占，而实际上学生对概念的构建直接影响到数学学习的效果. 从建构主义学习理论出发，借助于建构的概念来思考高中数学概念的教学，再结合传统高中数学教学的优秀策略，可以发现借助问题链的设计，借助于数学模型，借助于数学问题解决的过程，可以有效帮助学生构建数学概念，从而促进有效教学的实现.

[关键词] 高中数学；概念教学；概念构建；有效途径

高中数学教学中，概念作为数学理解的基础，在实际教学中受到高度重视.同时，数学概念又因为对实际数学问题的解决一定程度上缺乏直接关联性（用数学教师的话说，很少有直接考数学概念的题目），因此实际教学中又常常会通过压缩概念教学的方法，来为数学解题提供时间. 作为一线教师，笔者深知这一策略背后有着某种无奈的心态，而寻找更为有效的数学概念教学的方法，也成为一线教师的必然之举.

在有效教学的语境之下，有效的数学概念构建自然会成为一个研究话题，借助于“构建”这一词语，是吸收了建构主义学习理论的观点，是试图从学生的角度来把握数学概念构建的有效策略.实际教学中，笔者结合相关理论成果，尤其是结合对学生在数学概念学习中的观察，总结出这样的几点，恳请专家同行批评指正.

问题链促进学生新旧概念的转换

问题链这个概念相信同行并不陌生，所谓问题链，就是围绕一个主题，通过层层递进式的问题的逐步提出与解决，以让学生在自身逻辑思维的作用之下，完成思维的不断深入. 高中数学概念学习的过程，显然是一个思维高度参与的过程，若借助于问题链，则可以让学生在新旧概念的转换中完成对新概念构建. 而新旧概念的转换既是传统数学研究的范畴，也是建构主义学习理论重点关注的内容，因此从教学理论的角度来看，这样的概念教学思路也是与理论有着一致性的.

现以“函数的周期性”（普通高课程标准实验教科书数学4必修）这一教学内容为例. 函数的周期性作为函数的性质的学习，其以“周期性”的概念界定周期函数所表现出来的f（x）=f（x+T）的性质，在实际教学中从学生的角度出发，需要关注学生原来所学过的部分概念，如函数概念是否理解，什么叫周期是否清楚明白，是否能够熟练地利用函数图象去构建函数的性质等，是否清楚三角函数的基本特征，是否知道基本三角函数的图象等；同时又要注意新概念的内涵与外延，如周期函数的图象可能呈现出什么样的特点，用周期函数来界定一种函数的性质具有什么样的概念性意义等.

在以上分析的基础之上，教师可以设计这样的问题链：什么是函数？什么是三角函数？能否清晰地回忆起三角函数的概念？能否顺利地作出三角函数的图象？是否记得诱导公式？以正弦函数的图象为例，如果要作出较大定义域内的正弦函数的图象，你是不是全部选用描点法作图？（这个问题的解决可以给学生一段时间，让学生自己去体验实践）如果不是，那你会选择什么样的方法？在作图的过程中你会有什么样的新的发现？这种发现可以用什么样的概念来进行描述？如果要用数学语言来完成这样的描述，那需要构建出什么样的数学概念？

这一系列问题的问出，可以让学生在原有数学概念的基础上完成周期函数概念的构建，而对像最小正周期这样的概念也可以顺利地完成构建. 教学实践表明，学生在此过程中，他们的思维是步步进入的，起初的问题可以促使人与人之间有效地回忆以正弦函数为思维加工对象的概念、图象以及描点法作图等作图方法，这是旧知的再次清晰呈现；在此基础之上，借助正弦函数的作图，学生可以有指向性地体验到该函数周期性的存在，但此时又不会直接想到用周期这一概念去描述这一特点. 但正是因为有了这样的实践基础，他们的思维已经聚焦到函数的周期性上，所以待教师问出新的问题之后，他们会迅速地将这些性质与周期联系在一起，于是周期函数水到渠成.

在教学实践中笔者还发现，这种借助问题链促进学生新旧概念发生转换的教学方式，还可以有效培养学生的数学迁移能力. 譬如再让学生去分析余弦函数的时候，绝大多数学生几乎都能很轻松地将在正弦函数中获得的周期性认识迁移到余弦函数当中去. 另外，考虑到这一方式也是传统教学与现代教学理论都强调的方式，因此在实际教学中需要高度重视、经常使用，这在客观上也可以培养学生的数学学习品质.

数学模型辅助学生完成概念构建

数学模型是高中数学教学研究中的一个热词，通常情况下数学模型更多地在数学问题的解决中得到广泛的使用，相对而言在数学概念的构建过程中则应用较少. 事实上，数学模型作为一种重要的数学学习思想，应当贯串于数学学习的每一个环节，数学概念的构建作为重要的数学学习环节，数学模型及其思想应当发挥更为重要的作用.

这里首先强调一下数学模型的意义.众所周知，数学概念具有的最大特点就是抽象性，而抽象性对于高中学生来说虽然符合思维特征（高中学生的思维特点已经由形象思维转向抽象思维），但是一个更为重要的认识是，当学生在数学学习中遇到抽象思维难以加工的对象时，他们还是会习惯地将思维转向形象的角度上来，这就意味着一定程度上的模型构建，应当成为高中数学学习的重要方法与手段.于是在数学概念的教学中，数学模型的建立与应用就应当成为数学教学研究的重点内容.

同样如函数的性质的教学，在学习函数的奇偶性的时候，笔者发现虽然说奇偶性这一概念构建并不复杂，但对于班上的少数学生而言，他们每次在运用函数的奇偶性进行相关问题的判断时都会出错. 原因出在哪里呢？笔者在每次这几个学生出错之后都会分析他们出现的错误答案，然后再与他们沟通，结果发现他们在构建函数奇偶性的时候还是出现了问题. 他们对于理解f（-x）=f（x）、f（-x）=-f（x）这样的关系式实际上是有困难的，他们不知道括号里的负号为什么有时候没有了，有时候又跑到了外面. 对于这部分学困生而言，要解决这一问题，笔者以为关键就是帮他们建立函数的奇偶性的形象模型. 这种模型的选择可以是具体的例子，如可以借助教材后面的例题的思想，给出某个函数在第一象限的图象，然后让其根据奇偶性去作出另一半的图象. 这是一个将函数奇偶性转换为具体图象的过程，学生的思维可以将抽象的解析式的计算，转换成基于图象的判断，对于这部分学生来说，是一种很好的概念构建方式，而其背后的思想实际上就是数学模型.

事实上，这个模型本身并不复杂，关键是要让这部分学生习惯于依赖这样的模型去理解函数的奇偶性. 一旦此习惯形成，那学生就可以顺利地进行更多数学概念的构建. 而此时需要强调的一个观点是，数学模型并不完全是那种具有极强模型特征的对象，更多的时候借助学生熟悉且思维更易加工的对象去完成概念的构建，往往是数学模型思想更重要的体现.

学以致用奠定学生概念构建基础

学以致用是高中数学教学的基本思路，一般来说这里致用往往是指数学习题的解答，在这个过程中当然会有数学概念的运用过程. 但如文前所说，此时的运用过程中，概念往往都是充分的幕后角色. 而相当一部分学生也就是因为概念不清而在解题过程中出现诸多困难，而教师由于教学进度等原因，又不愿意停下来再跟学生强调数学概念是怎么回事，于是对于相当一部分学生而言，此时的数学问题解决就成为一个机械的灌输过程.那么，在此过程中能不能再有机地渗透数学概念的构建呢？笔者对此进行了借鉴、学习与尝试.

有这样的一道习题：求（1+cotα-cscα）（1+tanα+secα）的值. 这是一道三角函数的习题，也是一道具有一定难度的习题，如果从纯粹的三角函数变形的角度来完成此题的求解，那本题对于绝大多数学生来说都是一个拦路虎. 遇到这种问题怎么办？事实证明此时很少有学生能够从三角函数概念及其定义的角度来完成本题的解答. 反之，如果将问题解决的目光返回到三角函数概念本身，通过构建单位圆的方式，来将原题中的cotα、cscα、tanα、secα转换成等，则可以代入之后顺利发现最终的结果是2. 而在教学中，当学生发现最后的答案竟然是如此简单，而过程又是如此清晰之时，学生的惊讶之情溢于言表. 这个时候笔者引导学生反思：为什么这个方法就如此巧妙？学生在深思熟虑之后则会发现，其实就是在太多的三角函数的试题解答之后，忘记了三角函数本身在概念学习中的定义了. 由此可见，在数学问题的解决过程中，适当地从概念本身出发，从概念的定义出发，可以有效地构建数学概念的教学.

综上所述，高中数学教学中，概念教学既是一个基础性工作，同时又是贯串整个数学学习过程的工作，要从问题设计的角度，从数学模型及问题解决的过程中完善概念教学，这样才可以促进学生对数学概念的有效构建.