简化运算，适度拓展

余建国

高考中的解析几何解答题虽然不难（很少作为压轴题），但是得分也不容易，原因是运算很繁.因此，简化运算是提高解答效率的首要任务.本文以一道高考题为例，和同学们探讨如何简化运算，并对该高考题作适度的拓展.

接下来，我们要依次完成：①解交点A，B的坐标以及求弦AB的长；②解弦AB的中点C的坐标；③求线段AB的中垂线PC的方程；④解直线PC与l的交点P的坐标；⑤求线段PC的长；⑥解含k的方程PC=2AB.

小结 ①利用韦达定理，不需要解交点，即很多几何问题可以转化为关于x₁+x₂，x₁x₂的方程；②利用椭圆的第二定义推得的焦点弦长公式计算焦点弦长大大减小了运算量；③有些具体的平面三角问题，直接解三角形比解析法更快.

解答完毕，感觉此题缺少点运动变化的味道.下面我们让弦AB动起来，设AB是过椭圆右焦点F、斜率为k的动直线，则弦长AB和线段PC的长随之变化，若设PC=λAB，则λ的值也是变化的，λ的值是否存在最大或最小呢？

这下我们理解了，该题等式“PC=2AB”中的系数为何取“2”？原来我们所计算的问题正好是λ的最小值情形.由此我们不得不感慨命题人的精妙构思和合理设计.

我们的思考结束了吗？没有！如果将左准线换成右准线呢？如果将椭同换成双曲线、抛物线呢？解析几何的魅力就在此，思考永不停息.同学们可以借助几何面板作适度的拓展探究，并借此锻炼自己的代数运算能力.