一道高考压轴题的另解及引申

李迪淼

湖北2015年高考数学卷文理科都采用了这样一道压轴题：一种画椭圆的工具如图1所示.0是滑槽AB的中点，短杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕0转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以0为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

（工）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线ι与两定直线ι₁：x-2y=0和ι₂：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线ι总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

这是一道很有创意义紧扣学生所学知识方法的好题，其中第一题比较简单，本文只就第二小题给出几个有别于标准解答的解法和若干引申，意在抛砖引玉.

另解1 由第一小题知椭网方程为：x²+4y²=16，因而可设切点为E4cosθ，2sinθ），从而得切线PQ的方程：

显然其中等号成立的充要条件是cos2θ=±1<=>PQ⊥x轴或PQ∥x轴，因此△OPQ的面积存在最小值，为8.

评注 该解法应用椭圆的角参数方程建立起以角为白变量的面积函数关系式，再利用余弦函数的有界性获得了答案，过程简明，思路清晰，但要用到切线公式和有关三角公式.

解析2 因为椭圆被直线l₁：x-2y=O和l₂：x+2y=0分割为四部分，根据对称性则只需讨论切点位于E和E'所处的两个区域的情况即可（参见图4）.

显然其中等号成立的充要条件是y₀=O，即PQ⊥x轴，所以此时△OPQ的面积存在最小值8；

若切点位于图4所示的E位置，同法可得当PQ∥x轴时△OPQ的面积存在最小值8.

评注 该解法应用椭圆的普通方程建立起以切点纵坐标为白变量的面积函数关系式，再利用实数平方的非负性获得了答案，思路清晰，但要用到切线公式和分类讨论方法.

当切点位于图2所示的E'位置，同法可得△OPQ的面积存在最小值8.

评注 这里利用几何直观法迅速获得了答案，但这要建立在坚实的理论基础和非凡的洞察力之上.

引申1 在直线l₁：x-2y=0上任取一点P作椭圆x²+4y²=16的两条切线PQ和PQ'分别交直线l₂：x+2y=0于Q，Q'，则△POQ与△POQ'的面积相等.

故M是切点弦EE'的中点.

另一方面，因为切点弦EE'：bx₀z+ax₀y=a²b与直线l₂：bx+ay=0的斜率相而获知△POQ与△POQ'的面积相等.证毕.

引申3 动直线l与两定直线l₁：bx-ay=0和l₂：bx+ay=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆b²x²+a²y²=a²b²有且只有一个公共点，则△OPQ的面积的最小值是ab.

证明 由引申2及对称性知只需考虑切点E位于∠POx的情况即可（参见图7）.

当PQ⊥x轴时，显然S_△OPQ=ab；