阿波罗尼斯圆的新性质及应用

杨炼

设M，N是平面上两个定点，则满足|PM|=k|PN|（k>0，k≠1）的点的轨迹是一个圆，通常称之为阿波罗尼斯圆，其中k为比例常数，此圆的圆心在直线MN上.随之产生一个问题，对于任意一个圆和常数k（k≠1），如何寻找两定点M，N，使圆上任意一点P满足阿氏圆的定义|PM|=k|PN|（k≠1），本文给出的定理解决了这一问题，利用这一定理可很快解决2015年湖北高考试题（题14）和一个自主招生试题.

先引进一个概念——圆的反演点：已知圆O的半径为r，从圆心O出发任作一射线，在射线上任取两点M，N，OM=m，ON=n且|OM|·|ON|=r2，则称M，N是关于圆O的反演点，圆的反演点也可由以下几何方法获得，若M在圆外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与OM的交点就是M的反演点N；若M在圆内，则连接OM，过点M作OM的垂线与圆交点处的两切线的交点即为M的反演点N.

定理1设M，N是圆O的反演点，AB是直线MN上的直径，则圆O上的任意一点P满足PM=kPN（k≠1），其中k=AMAN.图1

证明如图1，不妨设圆O的方程为x2+y2=r2（r>0），A（-r，0），M（m，0），N（n，0）（m>0，n>0），则由反演点的定义mn=r2.k=AMAN=m+rn+r，设P（x，y），则由PM=kPN得：AM2AN2=（m+r）2（n+r）2，

即（x-m）2+y2（x-n）2+y2=（m+r）2（n+r）2，所以（n+r）2[（x-m）2+y2]=（m+r）2[（x-n）2+y2]，展开得：

[（m+r）2-（n+r）2]x2-2[m（n+r）2-n（m+r）2]x+[（m+r）2-（n+r）2]y2+n2（m+r）2-m2（n+r）2=0，即（m-n）（m+n+r）x2-2[mn（n-m）+（m-n）r2]x+（m-n）（m+n+r）y2+[2mn+（m+n）r]（n-m）r=0，因为m-n≠0，mn=r2，上式可化简为x2+y2=r2，故圆x2+y2=r2上的点P均满足：

PM=kPN（k≠1），其中k=AMAN.图2

定理2设M，N是圆O的反演点，AB是直线MN上的直径，P为圆O上的任意一点，则直线PA，PB分别为△PMN的∠MPN的内、外角平分线.如图2，由于PMPN=BMBN，故由平面几何角平分线的性质易知（证略）.

下面举例说明本文定理的应用.图3

例1（2015年湖北高考理14）如图3，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB=2.

（1）圆C的标准方程为；

（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：

①NANB=MAMB；②NBNA-MAMB=2；③NBNA+MAMB=22.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

解（1）略.圆的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=2.

（2）联立方程组x=0，

（x-1）2+（y-2）2=2，解得x=0，

y=2-1，或x=0，

y=2+1，因为B在A的上方，

所以A（0，2-1），B（0，2+1），

因为OA·OB=1=r2，由定理1可知，点A，B是圆O：x2+y2=1的一对反演点，取圆O上一点D（0，1）计算[JB（|]DA[JB）|]DB=2-22=2-1得圆O为以A，B为反演点，比例系数为2-1的阿波罗尼斯圆.即对圆O：x2+y2=1上任意一点P，均有PAPB=2-1.故有NANB=MAMB=2-1，故①正确，又NBNA-MAMB=（2+1）-（2-1）=2，故②正确；NBNA+MAMB=（2+1）+（2-1）=22，③正确.可见，用本文定理来解决2015年湖北高考题是何等的简捷.

例2已知圆C：x2+y2=16，问在x轴上是否存在点A和点B，使得对于圆C上的任意一点P，都有PAPB=13？若存在，求出A，B点的坐标；若不存在，说明理由.

解设A（a，0），B（b，0）（a

4-ab-4=13，得：a=43，

b=12，故存在点A（43，0），B（12，0），使得圆C上任意一点P均满足PAPB=13.

评析本例揭示了对于任意一个圆和给定的比例常数k，如何寻找定点A，B使圆成为阿波罗尼斯圆，即其上任意一点满足PAPB=k的方法，只要求出圆的一对反演点A，B即为所求.

例3已知点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足AB=10，点M为线段AB的中点，已知P（10，0），C（6，3），则12PM+CM的最小值为.图4

解析如图4，点M的轨迹为圆x2+y2=25，为使圆成为比例常数为12的阿波罗尼斯圆，设点Q（m，0）与点P（10，0）为反演点，则有10m=52，所以m=52，所以Q（52，0），则圆上的点M满足：|MQ|=12|MP|，

所以12|PM|+|CM|=|MQ|+|CM|≥|CQ|=852.

评析本题的解法抓住点M为圆上的动点，通过确定点P的反演点Q，利用定理1把12|PM|成功转化为|MQ|，再利用几何意义解题，过程简洁明快.

例4（2011年卓越联盟自主招生试题）在△ABC中，AB=2AC，AD是∠A的平分线，且AD=kAC，

（1）求k的取值范围；（2）若△ABC的面积为1，求k为何值时，BC最短.

先来看原解

解（1）不妨设AC=1，AB=2，AD=kAC=k，由三角形内角平分线的性质可得：BD=23BC，CD=13BC，

由余弦定理可得：49BC2=4+k2-4kcosA2，

19BC2=1+k2-2kcosA2，所以cosA2=34k，由于0

故有0

（2）由已知条件和面积公式有12AB·ACsinA=1，即AC2sinA=1，所以AC2=1sinA，再由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=5AC2-4AC2·cosA=5-4cosAsinA，将cosA=1-2sin2A2代入上式得BC2=1+8sin2A2sinA=9sin2A2+cos2A2sinA≥6sinA2cosA2sinA=3，当3sinA2=cosA2时等号成立，BCmin=3，此时cos2A2=9sin2A2=9-9cos2A2cosA2=310，由（1）可知

k=43cosA2=43·310=2105.

下面再用本文的定理来解：图5

解（1）如图5，由条件AB=2AC，故构造半径为r=2t（t>0）的阿波罗尼斯圆O，其中OC=t，OB=4t，D是BC与圆的交点，则由定理2可知AD是∠A的平分线，则圆O上的点A满足AB=2AC，设∠AOC=θ，

则k2=AD2AC2=（2·2tsinθ2）2t2+4t2-2·t·2tcosθ=8（1-cosθ）5-4cosθ，令t=cosθ∈（-1，1），

则k2=AD2AC2=8（1-t）5-4t=2+14t-5为减函数.故k2∈（0，169）所以k∈（0，43）.

事实上，几何事实一目了然，当点A在圆上运动时，点A趋近于圆直径的两端点D，E时为k取值范围的端点，容易计算得0，43；

（2）S△ABC=12·BC·h=12·3t·2tsinθ=3t2sinθ=1，又BC=3t，故当sinθ=1时，tmin=33，从而BC最短为3，此时AO⊥BC，故AD=22t，AC=5t，所以k=ADAC=225=2105.

评析比较两者解法可知，解法1，有一定的思维难度和较大的运算量，而解法2利用了本题的几何背景：阿波罗尼斯圆的性质，凸显了几何意义，从而大大简化了解题过程.

综上所述，本文所给的两个定理在解决阿波罗尼斯圆为背景的解析几何问题和涉及定比线段的三角、几何问题时是十分有用的.