高中数学必修教材“概率”部分的比较研究

☉西北师范大学教育学院甘肃酒泉第四中学徐玉庆

高中数学必修教材“概率”部分的比较研究

☉西北师范大学教育学院甘肃酒泉第四中学徐玉庆

概率是高中数学的重要内容，是培养学生数据处理能力和应用意识的重要载体.本文以人教A版必修教材和北师大版必修教材为例，利用内容分析法对两个版本中“概率”部分进行分析和比较，发现不同版本的教材对于知识点的讲解各有侧重，对于例题和习题的设计也各有风格.通过教材的深入比较，也为教材的审定和编写提供建议.

高中数学；内容分析；教材比较；概率

一、引言

随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布，我国的基础教育课程改革正式拉开了帷幕.教材作为课程改革的核心内容，是课程理念和课程目标的关键性载体，是教师开展教学活动和学生学习的重要工具，是实现教学目的的主要手段.“教材编写是课程改革成功实施的重要环节”［1］.众所周知，教材由原来的“一纲一本”变为了现在的“一标多本”.然而不同的编写人员对课程标准有着不同的理解，所以即便是以同一标准作为指导理念编写出来的教材也存在很多的不同之处.所谓他山之石，可以攻玉.作为教育工作者，通过教材比较来了解不同版本教材的差异和优缺点，以便在教学过程中能够高屋建瓴、举重若轻就显得尤为重要.

概率是高中数学的重要内容，是培养学生数据处理能力和应用意识的重要载体.《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出：随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的办法，同时为统计学的发展提供了理论基础.因此，概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备知识.［2］为此，本研究通过对当前适用范围较广、影响力较大的两套教材——人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学（A版）》（后简称“人教A版”）和北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学》（后简称“北师大版”）中必修部分“概率”内容的比较，以小见大，以期对一线教师和地方各级教育部门在教材的选择和使用上提供一定的帮助.

二、文献综述

目前，国内外有众多文献研究高中数学“概率”.这些研究主要从以下几个方面展开：其一，从教材编排的结构的角度，主要研究“概率”与其他知识点在内容结构上的衔接问题；其二，从教材中数学史的角度，主要从“概率”的发展历史、引入方式、呈现视角、信息载体、数学故事的角度展开研究；其三，从例题和习题的难易程度的角度，主要利用史宁中和鲍建生建立的难度模型对例题和习题进行比较；其四，从学生理解的角度，主要研究“概率”概念和公式的理解和推导.目前，教材比较中以内容分析法的文献并不是很多，研究者对另个版本中“概率”部分通过内容分析法和难度模型比较法进行分析.

三、研究方法

台湾学者欧用生认为，内容分析法就是透过量化的技巧以及质性的分析，以客观及系统的态度，对文本内容进行研究与分析，借以推论产生该项内容的环境背景及其意义的一种研究方法.对于教材内容的分析与研究，依教材内容的范围区分大致可分为三类：以某一教育概念为主轴，对相关学科的教材内容进行分析；对单一学科教材的内容进行分析；对单一学科教材的内容中某一重要主题之内容进行分析.本文通过对两个版本“概率”部分的主要内容、主要栏目、主要概念的呈现方式、例习题的数量、类型、难度方面进行具体的分析.

四、研究结果

（一）主要内容比较

教材中的主要内容是指在整个章节中起支撑作用的知识.人教A版和北师大版高中必修教材“概率”部分内容均在必修3的第三章，都是以前面所学的统计知识为铺垫的.下面通过表格（见表1）来分析比较两版本教材必修部分中概率一章的主要内容：

表1：主要内容的比较

由表1不难发现：人教A版在这部分的知识处理上较详尽完备，这表明人教A版更加注重知识点的系统性和整体性，北师大版在知识点的处理上也较完备.两个版本在知识点含量上存在不同，人教A版所含的概念和定理比较多，同时拓展的知识点也相对较多，例如，决策中的概率，天气预报中的概率，遗传机理中的概率.这些内容都和我们的现实生活紧密联系，同时也为学习物理、化学、生物学科更好地服务；而北师大版所含的知识容量相对较少.编排理念上基本相同，都是先给出概率的定义，然后是概率在现实生活的具体实例，最后是古典概型和几何概型.两个版本必修部分的“概率”主体内容基本相同，都包含了“随机事件的概率”、“古典概型”、“几何概型”这三大块的内容，并且其中都涉及了大量与生活实际紧密联系的例子，这样可以很好地激发学生的学习兴趣，增强学生学好数学的信心，同时两版本的教材都体现了信息技术在课堂中的应用，如均匀随机数的产生.但在细微之处还是存在些许差别.比如北师大版中的“几何概型”并没有像人教A版那样在“古典概型”的基础上比较直接地给出，而是在第三节“模拟方法——概率的应用”这一节中作为概率的一个应用——求不规则图形的近似面积而引出“几何概型”的，这一概念引入方式的不同实则是因为相比之下人教A版教材更注重按照逻辑顺序展开教学，教材普遍采用“逐级递进，螺旋上升”的做法，而北师大版教材更注重采用遵循人的认知发展规律来组织教学.又如，人教A版教材在编写的过程中渗透了数学史的知识——孟德尔的简介、贝努利的简介和蒙特卡罗方法的简介，这有助于学生初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神［5］，这恰恰体现了新课标对学生的要求.两个版本的教材都注重知识和现实生活的联系，通过现实生活中真实事件发生的概率解释概率的使用性，这充分展示了课程标准中“让学生学有用的数学”的理念，而不是单一的呈现概率的概念和定义.通过比较两个版本的知识结构如图1所示.

图1“概率”的内容结构图

（二）主要栏目比较

教材栏目的设置反映了教材编写的特色，决定着教材的结构以及教材内容的呈现方式.现将两版本教材必修部分“概率”内容中的栏目设置比较如下（见表2）：

表2：主要栏目维度

从表2我们可以清晰地看到：北师大版教材的栏目设置要比人教A版的栏目设置更为丰富，并且给人的感觉是层次分明，层层深入，尤其是“抽象概括”这一栏目清楚地罗列了每节课的重点，更易使读者把握核心知识点；北师大版教材中“动手实践”和“探究活动”栏目的设置可以充分地培养学生的动手能力，激发学生的学习兴趣，北师大版的本章小结也比人教A版的章小结更为细致全面，它不仅列出了关键知识点，而且列出了学习要求和需要注意的问题，这对教师的教和学生的学是大有裨益的.北师大版“阅读理解”栏目中所引用的数据都通过注释标注出了数据来源，这体现了数学的严谨性以及数据来源的权威性.个人感觉北师大版教材在栏目设置上略胜一筹.不过人教A版教材也有值得借鉴的地方，教材129页上面的注释提到了不要用生日来作为银行卡密码，这一提醒会让读者倍感温馨，体现了教材编写的人性化.

（三）主要概念导入方式的比较

数学概念的导入方式有两种，分别是概念同化和概念形成.概念同化是指以定义的形式给出概念，由学生主动地与自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义，从而获得新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化.概念形成是指通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫做概念形成.［6］

北师大版高中数学教材必修3概率一章一共有五个主要概念，分别是“概率”、“互斥事件”、“古典概型”和“几何概型”，它们在教材里均是按照概念形成的方式呈现的.人教A版高中数学教材必修3概率一章共包含9个主要概念，分别是“必然事件”、“不可能事件”、“随机事件”、“频数”、“频率”、“概率”、“基本事件”、“古典概型”、“几何概型”，这9个概念都是采用了概念同化的方法给出，例如：频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的频率.（频率=频数÷样本总数）.人教A版更加注重概率概念的形成过程，注重初高中知识的衔接，学生已经在初中学习了随机事件、必然事件和不可能事件，但是初高中学生的认知水平并不形同，所以在这里重新给出严格的定义是有必要的，有助于学生理解概率的定义.概念的导入方式采用概念形成好，还是采用概念同化好，这要看学生的理解水平.其实概念形成对应的思维方式是归纳法，而概念同化则对应的是演绎法，前者更接近于人类自发形成概念的方法，后者是一定水平的人在已有概念的基础上学习新概念的主要方式.因此，在教授此部分教学内容的过程中，教师要充分了解自己学生的认知水平，采用适合他们的概念教学方法.

（四）例题与习题的比较与分析

1.课内例题习题的综合难度比较

根据鲍建生建立的难度模型，我们计算出如表2所示的一组题目综合难度，在这里我们将例题和习题统称为“习题”处理，对于一个题目中出现的多个问题，我们按多个题目处理.

两种教材“概率”习题难度的加权平均

探究背景运算推理知识含量综合难度人教A版2 . 1 0 1 . 3 1 3 . 0 1 2 . 1 0 1 . 9 8 1 0 . 5 0北师大版2 . 1 3 1 . 3 6 3 . 0 2 1 . 9 5 1 . 8 7 1 0 . 3 3

由此我们得到了人教版和北师大版教材“习题”的综合难度的五边形模型：

从图中可以看出，人教版教材在“推理”、“知识含量”上难度较大，北师大版在“探究”、“运算”上难度较大，北师大版在“背景”、“运算”两个维度较人教版教材的难度高，两个版本的教材的综合难度相差并不是很大，人教A版教材的难度比北师大版教材高0.17，这和人教A版教材的编排方式是一致的.

2.问题形式及数量比较

人教A版教材习题的类型有：选择、填空、解答、举例、试验、计算、判断，北师大版教材习题的类型有：举例、解答、判断、计算，在习题类型设置方面，人教A版比北师大版显得更为丰富，北师大版教材的习题主要以计算题为主，这主要是因为此部分内容在考试中主要以计算题的形式存在.相对于人教A版教材而言，北师大版教材中的每道计算题设置的问法更加全面，这可以使学生更好地区分每种情况之间的不同，更透彻地理解教材中的知识点.

人教A版必修教材“概率”部分共有10道例题52道习题，北师大版必修教材此部分的共有8道例题64道习题.通过以上数据我们发现北师大版教材的例、习题在数量上略高于人教A版，这可能就是导致北师大版必修教材“概率”部分内容占整个北师大版必修教材的比重（约为7.53%）略高于人教A版相应部分内容占整个人教A版必修教材的比重（约为6.27%）的原因.

五、启示

通过以上比较我们发现北师大版教材相对于人教A版教材而言因为其栏目设置清晰，知识点明确，这将更