技道合一，让解决问题不成问题

金妤茜

数学是思维的体操，亦是思维的工具。在教学活动中，教师要重视学生思维能力的培养，引导学生的认识从感性上升到理性，从形象思维发展到抽象思维。在“解决问题的策略（转化）”一课教学中，设计安排学生动手操作，验证例题中两个图形的面积是否相等，学生在操作过程中会自觉运用已有知识，如旋转、平移等，将其转化成规则的图形再进行比较。学生动手动脑，让手指间的思维既感受到数学的应用价值，又感悟到解决问题的策略。继而通过层层递进的练习，一方面，让学生充分巩固和运用这一策略，切切实实体验 “转化”的魅力，另一方面，在策略的应用中感悟数学思想，提升数学思维。

一、教学实践

第一次实践。

1.教学思路

从比较不规则图形的面积入手，唤醒学生的转化意识，使他们容易想到转化成规则的图形再来比较。让学生初步感知运用转化策略解决问题的优势所在。

2.主要教学环节

【教学片断】

问题引入，在对比中感知转化的优势。

课件出示：

师：你能一眼看出这两个图形谁的面积大吗？（学生迟疑。）打算怎么比？

生：可以数方格。

生：数方格太麻烦了，可以直接通过平移、旋转把不规则图形转化成规则的来比。

师：你来比划给大家看看。（学生一边在ppt上操作，一边解释）能比出大小来了吗？

生：一样大。

师：原来不太容易比较面积的两个图形经过这位同学一变，就能一眼看出来了。什么原因？

生：原来的两个图形都是不规则的，现在转化成了规则的长方形，就便于比较了。

师：是这个理儿？

生：是。

师：那还可以数方格啊。你们觉得哪个方法好？

生：转化成规则图形的方法好。

师：其实，大家在解决刚才问题的过程中，用到了一种解决问题的策略（转化）。（教师板书课题。）

3.教学反思

出示例题后，不乏学生仍然用数的方法求图形的面积，教师为了更侧重转化策略，对于这种方法，课上只是简单评价“太麻烦了”，继而直指“转化”的方法，似乎有些不尊重学生的想法，也没给孩子各抒己见的机会。陶行知先生认为：“先生的责任不在教，而在教学，在教学生学”“教的法子必须根据学的法子”。教学的对象是一群儿童，他们带着自己的灵感、兴趣、认知、经验、思考等参与课堂学习活动，所以教学是依据儿童已有的经验展开的。因此，教师要让学生用自己的方式研究问题，充分肯定他们通往目标的不同途径。笔者决定充分尊重学生想法、提供个性发展的时空，放手让学生自主探索，有方法的选择、优化，从而丰实例题厚度，进行了第二次实践。

第二次实践。

1.教学思路

亲历操作，关注形成策略的“着眼点”，有时只可意会，难以言传。因此，让学生亲身经历观察、猜测、操作、计算、推理、体验等形成策略的过程，是形成策略意识的必经之路。

2.主要教学环节

谈话：上课！这节课金老师要和大家一起来解决问题（板书：解决问题），解决什么问题呢？得你们自己提。

（1）出示例题。（没有方格纸）

师：以前的学习中，见过这样的平面图形吗？你能提出相关的数学问题吗？

生1：它们的面积各是多少？生2：比较面积的大小。

师：还有吗？

生3：它们的周长各是多少？周长之间的比较？

师：当我们面对图形时看到的不再是颜色、形状，而是从测量的角度思考，提出来与面积或周长有关的问题，真不简单。那我们就先来比较它们的面积。出示：上面两个图形，哪个面积大一些？能看出来谁大谁小吗？大胆地说出你的猜测！学生有争议。既然同学们有争议，如何求证呢？如果我们有了这个宝物（出示方格图背景）是不是就有点感觉了？好，动手验证一下！

（2）探索方法。谈话：拿出信封中的这两个图形，听清要求！同桌一人一个，先商量好怎么比较面积大小，再操作。看哪一对同桌最先有结论。开始吧！学生同桌合作探索，全班汇报交流。

生1：第一个图形整格有18格，半格有12格：18+12÷2=24格；第二个图形整格有14格，半格有20格：14+20÷2=24格，所以面积相等。

师：不错，数方格是测量面积最原始也是最基本的方法。

生2：第一个图形的这个半圆向下平移6格，变成一个长方形。第二个图形，两个半圆分别旋转过来也变成一个长方形。

提问：有没有注意到，这两个图形在切割、平移和旋转的过程中，什么变了？形变。什么没变？积等。形变积等，数学上叫作等积变形。（课件出示：等积变形）

师：刚才老师还发现，有的同学用了不同的剪拼方法，不过最终都是拼成了长方形。

3.教学反思

“数格子”看似比较“笨”的方法，但教师没有简单进行评价“这种方法也对，但是很麻烦”，而是换个角度看问题，认为数有时比较可靠，这样既尊重了学生的思维，又使学生获得受到肯定的满足。整个过程中，教师机智的引导与赞扬，更让课堂形成了生动活泼的局面，使学生的思维碰撞出精彩而独特的智慧之花。

解决问题策略的教学，只有辩证认识数学思想和实际问题的关系，才能智取策略运用的“制高点”。教师既不能忽视例题和习题对形成策略的作用，又不能只把目光停留在那几道例题和习题上，策略背后蕴含的思想方法，才是更高层面的。为此，笔者进行了第三次教学实践。

第三次实践。

1.教学思路

“解决问题的策略（转化）”一课，重中之重不在例题处理，而是在练习部分，如何体会转化策略的价值，而不是解题。关注“策略意识”的培养，唤起学生思维的深度参与，策略的形成才能真正有望实现内化于心，外化于行。

2.主要教学环节

【教学片断】

等长转化。出示：要比较下面每组中的两个图形的周长，是否需要转化呢？怎么转化？

让学生先尝试。

① ②

处理第一组。生1：直接数格子，周长都是12cm。生2：平移，都转化成3×3的长方形。生3：有没有这样割补的？为什么不这样？

区别：要求面积，转化前后面积不变；要求周长，转化前后周长不变。这就是数学上的等长转化。

小结：这两幅图既可以转化成规则图形比较，也可以数方格比较。

处理第二组。有没有直接数格子的？不能数吗？为什么？那怎么办？转化。看来非转化不可。

【教学片断】

拓展提升。出示：

扇形，都认识吧？学过它的面积计算公式吗？ 解决这个问题的关键是什么？

生：要知道扇形的面积占圆面积的几分之几。

学生尝试用转化的策略计算扇形的面积。

师：想一想，怎么就知道了。

下面的三角形中藏着三个扇形，你能计算它们的面积吗？

出示：

下面三角形中，有三个半径为2cm的扇形，你能求出它的面积吗？

小结：从某种意义上来说， 学习数学就是不断学会转化的过程。下课！

3.教学反思

在实践中发现，有些老师在引导学生进行解题练习时，只追求学生会解答，注重知识与技能层面，忽视了挖掘蕴涵在题目中的数学思想方法。实际上，学生在学校接受的数学知识，很快会忘掉了，然而不管他们从事什么工作，深深铭刻于头脑中的数学思想却随时随地地发挥作用，使他们受益终生，可见，数学思想的重要性。练习层层递进，不是“生搬硬套”的机械模仿，而是“举一反三”的内化提升。随着一个个问题的开始：“你准备怎么转化？”“是否需要转化？”“如何转化？”学生的思维之窗已被打开，教师更为学生思维之花的绽开留足了时间。

二、结论分析

“解决问题的策略”的教学需要重点关注三个方面：

第一，要关注问题的设计，即学习策略的基本前提。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力（独立思考和小组讨论、探究），最后归纳出具有一般规律性的结果。

第二，要注重探究。这是形成策略的重要保障。策略不可能由教师简单地告诉学生。要想形成策略，学生的主动探索与自主建构无疑是十分重要的。

第三，要加强反思。这是形成策略的必要条件。没有反思就不可能有真正意义上的策略形成，策略的有效形成必然伴随着个体对自己解题活动的不断反思。就转化策略的教学而言，一方面，要引导学生对解决问题的过程做出回顾、反思，体会转化策略；另一方面，要适时引导学生对以往数学学习过程中使用转化策略的情况进行回顾，明晰转化策略的本质，加深对转化策略的价值认同，进而养成自觉运用策略解决问题的习惯。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校）