仔细研读教材 精心设计教学

周长林　王英伟

[摘要]提高课堂效率是数学教学的永恒主题，是无数数学教师追求的目标，那么怎样让课堂高效，使学生的思维得到训练，学习数学的能力提高，这就要求教师要立足教材，整合教材，了解学情，精心设计好每一堂课。

[关键词]课堂教学；整合教材；思维训练

一、教学设计要瞻前顾后

教师要整体把握教材，通晓教材的前后联系，宏观了解其编写的体例与说明，形成对教材的宏观认识，清楚各个模块的前后联系。仔细研读教材，理解编者的意图。

案例1：《任意角的三角函数定义》教学设计的一些思考

在学习任意角的三角函数定义之前，学生在初中已学过直角三角形中锐角的三角函数的定义，而且学生对这个定义印象非常深刻。在讲本节课之前，我反复琢磨，怎样立足初中学过的定义，依据学生现有认知经验，将“旧”定义，赶出学生的头脑，树立起“新”观念。另外，对于不同版本的教材，任意角的三角函数定义也略有不同，一种是终边坐标法，一种是单位圆法。两者各有优点，终边坐标法符合三角函数形成发展的规律，反映数学概念的本质，突出比值，易与初中定义衔接；单位圆法，定义形式简单，更符合函数的概念，为今后学习三角函数值在各象限的符号、同角的三角函数关系、诱导公式提供了方便，这也正是编者的意图。两种定义各有千秋、难以取舍。怎样设计本节课，才能既符合学生原有的认知水平，又使教学流畅、自然，兼顾不同定义的优点。

《任意角的三角函数定义》教学片断：

图 1

教师：在Rt△POQ（如图1）中，若OQ=x，QP=y，OP=r，记∠POQ=α。

求：sinα，cosα，tanα。

图 2

教师：将Rt△POQ（如图2）放在坐标系中，以O为原点，α为任意角，点P的坐标为（x，y），则α的正弦、余弦、正切可以看成角α终边上点的坐标比，与点P在终边的位置有关吗？

教师：请同学们回忆函数的概念。（期待学生说出从实数到实数的映射，而在α的正弦、余弦、正切中，α（弧度）是实数，却与比值对应，不符合以往对函数的认识，怎样将它们的形式优化？（从而引出单位圆的概念。）

教师：怎样选取点P，能将sinα=yr，cosα=xr的形式得到优化。（学生自然会想到r=1，找到点P）

在例1中，求5π3的正弦、余弦和正切值。学生会想到用单位圆法。可是在例2中，已知角α的终边经过点P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。学生会感受的终边坐标法的优越性。

这样教师通过问题引导、层层递进，使复杂问题简单化，简单问题具体化，定义得以优化。实际学生得到了两种形式的任意角的三角函数定义，发现虽形式不同，但本质一样，上升到哲学高度。最后强调本节课一“破”一“立”，打破了三角函数定义在直角三角形的局限，树立了用角终边上点的坐标来定义三角函数的新观念。

日本数学教育家米山国藏说：“学生们在初中、高中等接受的数学知识，因毕业进入社会几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，通常是出校门不到两年，很快就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深地铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法和着眼点却随时随地发生作用，使他们受益终生。”我理解的高效课堂是通过这节课学生学到了知识，发展了思维，提升了能力并能上升到哲学的高度。在学生走出教室、走出校门，若干年后，仍留在头脑中的东西。

纵观数学教材的编排，知识是呈螺旋式上升的，教师要了解中小学数学中每个主要概念的来龙去脉，把知识连成线、织成面、构成网。高中数学知识中，许多章节起着承前启后的作用，肩负着重要的使命。如《平面向量的基本定理》，这一节内容是本章的“分水岭”，在这之前向量只有“形”和“符号”的表示，向量的运算也只有“形”和“符号”的运算。而在这之后，向量有了坐标，就将向量的运算纳入到数的运算范畴；平面向量的基本定理既是向量共线定理的发展，又为今后学习空间向量基本定理奠定了基础。因此教师在实施教学时必须采用联系的观点，立足教材，巧妙地对教学进行设计，更好地整合教材，才能有高效的课堂教学。

二、教学设计要左顾右盼

作为新时代的教师，特别是具有新课程理念的教师，不但要熟知本学科知识结构，具备驾驭、整合本学科教材的能力，还应跳出本学科教材，汲取跨学科教材的养分，搞好跨学科教材的整合。高中数学与物理、地理、化学等学科都有密切的关系，因此教师在设计教学时，还要横向比较，加强学科间的联系。

数学与物理两学科有许多知识的交叉与融合点，如向量、向量的平行四边形和三角形法则，割线逼近切线、变力做功、瞬时速度、周期教学时间有滞后或超前现象，要根据教学需要作适当调整，可适当将数学（物理）所学的相关知识以问答形式布置给学生预习，或引导学生阅读数学（物理）教材中的相关内容，加深对知识的理解，加强学科间的联系，让学生感受到数学是物理的工具，物理又促进了数学的发展。

案例2：如小船渡河问题

小船渡河问题属于高中物理必修2《质点在平面内的运动》中的合成与分解问题。实际要运用向量中的平行四边形法则来解决，而数学知识的学习要滞后物理。那么在数学人教版必修4第二章《向量》部分习题2。5 B组第二题涉及小船行使时间最短问题。

一条河的两岸平行，河的宽度为d=500 m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，要使船航行的时间最短，那么船行使的距离与合速度的比值必须最小。

分三种情况：（1）船顺流行驶，与水流成锐角；

（2）船与对岸垂直行驶，与水流成直角；

（3）船逆流行驶，与水流成钝角。

物理学采用的“化复杂问题为简单问题”的处理方法，把复杂运动看作是简单运动的合成，分运动的性质决定了合运动的性质。渡河问题是学生的薄弱环节，主要反映在用数学知识解决物理问题的能力较弱。

物理中将问题简化，各分运动与合运动具有等时、等效性。

图 3

如图3船头与河岸垂直时，航行时间最短：t=s1v1=dv1。

数学的解决方法：

设v1与v2的夹角为θ，合速度为v，v2与v的夹角为α，行使距离为d，则

sinα=v1sinθv=10sinθv，d=0。5sinα=v20sinθ，

d|v|=120sinθ。

所以，当θ=90°，即船垂直于对岸行速时所用时间最短。

对于同一问题，两学科解决的方法不同，物理偏重于应用，将问题简化，数学完全从运算的角度，转化为求函数的最值的问题，但本质是一样的。更反映了数学是物理的工具，物理为数学注入了活力。因此教师在教学时，要善于寻找学科间的联系，打破学科间的壁垒，优化课堂设计，提高课堂效率。

三、教学设计要联系实际

新课程增加了数学知识与现实生活的联系，增强了数学的应用价值，让学生学习有用的数学。而实际教学中，受传统教学思想的影响，教师对数学应用不够重视，对与应用有关的内容整合、驾驭能力较差，导致学生害怕、抵触与应用有关的知识和题目。其实，这类问题“难”在从实际背景中提炼出数学问题，这就要求我们在教学过程中重视从学生的生活经验出发更好地理解与掌握抽象的数学概念与知识，把抽象出来的数学概念与知识应用于新的情境。

案例3：《三角函数模型的简单应用》的教学片断

图 4

如图4，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值。当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。

如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？

问题1 图4中θ，δ，φ这三个角之间的关系是什么？

如图4这三个量之间的关系是θ=90°-φ-δ（当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值）。

问题2 当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在图 5地面上的投影长为h（如图5），那么θ，h0，h三者满足什么关系？

h0=htanθ。

问题3 根据地理知识，北京地区一年中，正午太阳直射什么纬度位置时，物体的影子最短或影子最长？

太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长。

问题4 综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？

解 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23°26′。

根据太阳高度角的定义，有θ=90°-|40°-（-23°26′）|=26°34′，所以h=h0tanθ=h0tan26°34′≈2h0。

即在盖楼时，为使楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距。

本题是研究楼高与楼在后地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。

教材中涉及与实际生产生活联系的内容很多，数学应用对教师的教学提出了新的挑战，既要了解实际生产生活相关知识，又要与数学知识有机的整合，根据学情设计教学方案。

总之，教师对教材理解的深度、整合驾驭教材的能力，直接影响教学设计的科学性，有效性，从而决定课堂教学是否高效。

[参考文献]

[1]吴立宝，曹一鸣，秦华。钻研数学教材的几个视角[J]。中学数学教学参考：上旬，2013（4）。

[2]顾向忠。高中新课程数学与物理学科知识的教学整合[J]。中学数学教学参考：上旬，2013（5）。