巧用数学思想方法 妙解初中数学问题

陈强

数学问题蕴涵着丰富的数学思想方法，在初中数学解题教学中，教师要注意结合具体的数学问题进行数学思想方法的有效渗透，从而帮助学生开拓解题思路，快速找到解题突破口，提升学生数学解题能力.

一、巧用分类讨论思想解数学问题

分类讨论思想是解数学问题中至关重要的解题策略.它是指在解某些数学问题时，有时会出现多种情况，此时我们需要一一对多种情况进行分类讨论，然后综合概括和归纳多种讨论结果，得出正确答案.巧用分类讨论思想，有助于避免学生思维的片面性，培养学生思维的逻辑性、严密性和条理性，提升学生全面思考问题、分析问题和解决问题的能力.

1.巧用分类讨论思想解函数问题

在初中数学学习中，分类讨论思想在函数中的应用较为广泛，在求解函数问题过程中，教师要注意引导学生正确地运用分类讨论思想，以避免出现漏解.

例1 求函数y=（k-1）x2+kx+1与x轴的交点坐标.

分析 由于本题中的要件并不是唯一的，因此，在进行求解时需要对问题可能出现的情况进分类讨论：

（1）当此函数为一次函数时，k=1，可求得与x 轴交点为（-1，0）；

（2）当此函数为二次函数时，k≠1，Δ=（k-2）2，

①当Δ=0时，即k=2，有一个交点（-1，0）；

②当Δ<0时，即（k-2）2<0，不存在k的值；

③当Δ>0时，即k≠2，有两个交点（-1，0）、（11-k，0）.

综上所述，当k=1时，与x轴交点为（-1，0）；当k≠1且k≠2时，与x轴交点为（-1，0）、（11-k，0）；当k=2时，与x轴交点为（-1，0）.

2.巧用分类讨论思想解实际应用题

数学源于生活，应用于生活，巧用分类讨论思想解实际应用问题，有助于培养学生多向思考问题、分析问题和解决问题的能力.

例3 某服装厂生产一种西装和领带.西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）.某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条），请帮店老板选择一种较省钱的购买方案.

分析 因为已知条件中未明确购买领带的数量，因而较省钱的购买方案也是不确定的，而是由不同的领带购买数量决定的.

解 设店老板需购买领带x条.

方案一购买需要付款

200×20+（x-20）×40=40x+3200（元），

方案二购买需要付款

（200×20+40x）×0.9=36x+3600（元）.

假设y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元），

①当y>0时，即x>100， 方案二比方案一省钱；

②当y<0时，即20

③当y=0时，即x=100，方案一和方案二同样省钱.

二、巧用转化思想方法解数学问题

转化思想方法是解数学问题中常用的思想方法之一，其实质是将复杂问题转化为简单问题、抽象问题转化为具体问题、生疏问题转化为熟悉问题，从而使问题得以快速求解.

1.未知问题与已知问题的转化

在解数学问题过程中，将未知问题通过变形、转化成学生熟悉的已知问题，运用已有知识进行求解，往往可以化难为易，化繁为简，使问题很快迎刃而解.

例4 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的长.

分析 此题根据梯形对角线互相垂直的特点，通过平移对角线将等腰梯形转化为学生熟悉的直角三角形和平行四边形，这样学生自然就能轻松求解.

解 过D作DE∥AC交BC的延长线于点E，

则可得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

因为AC⊥BD，所以BD⊥DE，

在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2，

所以BD=22BE=42，即AC==42.

2.一般情况与特殊情况的转化

一般问题与特殊问题的转化是转化思想较为常见的转化方式，在解某些数学问题时，若用一般方法难以入手，这时可以从它的特殊情况出发，将一般问题转化成特殊问题进行求解，这样既可以使问题更加直观简单，又可以避免繁琐的计算及推理，有助于学生解题速率的提高.

例5 如图2所示，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的长度.

分析 直角三角形是三角形中最为特殊，最简单的情景，因此，我们可以通过构造Rt△解题是转化中最为重要的方法，如图过A点作AD⊥BC于D，此题便能轻松获解.

3.数与形的转化

数与形的转化，即我们所说的数形结合.借助数与形的转化将代数问题几何化或几何问题代数化，往往可以化抽象为直观，从而达到事半功倍的效果.

例6 已知x，y，z，r均为正数：且x2+y2=z2，zx2-r2=x2，求证：xy=rz.

分析 观察发现问题的题设与勾股定理的结构相似，可联想转化为构造直角三角形加以解决.

通过构造如图Rt△ABC（如图3），使得BC=x，AC=y，AB=z.

又因为有zx2-r2=x2，

则可以作CD⊥AB，于是BC2=BD·AB.

即有x2=zx2-CD2.

因为zx2-r2=x2，

所以CD=r，S△ABC=12xy=12rz，即xy=rz.

总之，初中数学解题中涉及到的数学思想方法较多，在平时教学中，教师要注意数学思想方法的有效渗透，引导学生掌握正确的数学思想方法，从而提高学生的数学解题能力.