利用数形结合法巧解疑难问题

熊兴勇

[摘 要] 高中数学试卷中的综合试题或是计算量大，或是几种知识混合应用，或是题设结论之间的联系不易被发现，学生碰到这类题往往会觉得头痛，甚至放弃做题.其实通过训练，这类试题是有规律破解的.解这类题型最有效的办法就是数形结合.通过分析题设或结论的几何意义，达到“以形助数”或“以数解形”，把抽象思维和形象思维进行结合，实现复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而解决问题.

[关键词] 数形结合 以形助数 例题

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0053

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的形式，把抽象思维和形象思维进行结合，达到将复杂问题简单化、抽象问题具体化的目的，从而解决问题.现就利用表达式的几何意义，利用数形结合法解决一些不容易入手的或计算量大的问题，希望能帮助学生掌握解题技巧.

【例1】 函数f（x）=ln（ x2+x+1 - x2-x+1 ） 的值域是（ ）.

A.（-∞，0） B.（-1，0） C.（0，1） D.（0，+∞）

这是一道2007年高考模拟考试选择题的压轴题，不易入手.学生往往想到用求导的方法去求函数的值域，但求导过程很复杂.若利用数形结合法分析，则使解题思路清晰，可以化繁为简.

解析： 利用函数的几何意义，

∴如图1， x2+x+1 - x2-x+1

可看做x轴上的一个动点P（x，0）到定点M（- 1 2 ， 3 2 ）和N（ 1 2 ， 3 2

）的距离之差，即 x2+x+1

- x2-x+1 =

|PM|-|PN|.

而|PM|-|PN|<|MN|=1，同时考虑函数的定义域，

所以0< x2+x+1 -

x2-x+1

<1.

所以函数f（x）=ln（ x2+x+1 -

x2-x+1

）的值域是（-∞，0）.

【例2】 定义在 R 上的函数f（x）满足

f（4）=1，f′（x）为函数的导函数，已知

函数y=f′（x）的图像如图2所示，两个

正数a、b满足f（2a+b）<1，则 b+2 a+2

的取值范围是（ ）.

A.（ 1 3 ， 1 2 ）

B.（-∞， 1 2 ）∪（3，+∞）

C.（ 1 2 ，3）

D.（-∞，-3）

这是一道西安市八校联考试题，学生摸不着头脑，不知道题设与结论之间有什么联系，但利用 b+2 a+2

的几何意义，则不难理清解题思路.

b+2 a+2 = b-（-2） a-（-2） 可看成过点（a，b）与点（-2，-2）的直线的斜率.

解析：

当x>0时，f′（x）>0，∴当x>0时，f（x）为增函数.

∵a>0，b>0，∴2a+b>0.

∴f（2a+b）<1=f（4）2a+b<4.

由此得约束条件

a>0，b>0，2a+b<4.

以a为横轴、b为纵轴建立直角坐标系，

画出可行域为Rt△OAB，

如图3所示.

b+2 a+2 可看成可行域内任意一点（a，b）与点P（-2，-2）连线的斜率.

∴ 1 2 =kPB< b+2 a+2

∴ b+2 a+2

的

取值范围为（ 1 2 ，3）.

【例3】 关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则 b-1 a+1

的取值范围是（ ）.

A.（0，2）

B.（-2，0）

C.（0，1）

D.（-1，0）

此题的构思与上一题是同一思路，利用方程实根的取值范围，确定a、b的取值范围，则 b-1 a+1

的几何意义就是坐标平面上动点（a，b）与定点（-1，1）连线的斜率，但与上一题的区别是多了一个待定系数c.

解析： 由题意知，方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根01，x3=1.

以a为横轴、b为纵轴建立直角坐标系，

画出可行域，如图4.则 b-1 a+1 表示

可行域内的点（a，b）与点（-1，1）连线的斜率k.

∴-2

【例4】 已知△ABC，如果对一切实数t

都有|BA - tBC |≥|AC |，则△ABC一定为（ ）.

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.与t的值有关

这是2009年郑州市高中毕业班质量预测卷选择题的压轴题，是有关向量方面知识的试题.学生初看不知从何下手，但若用

数形结合法

去分析，则易知答案.

解法二：

由得点P是以原点为圆心、OF1为半径的圆与右准线的交点

P点纵坐标为以后方法同上.

通过以上几个例题的分析可以看到，在处理疑难数学问题时，合理地使用数形结合法，

能减少计算量

，快速地解决问题.

（责任编辑 钟伟芳）