高中数学模型解题法之三角函数

阎礼波

[摘 要] 三角函数公式繁多，学生面对众多公式，该怎样从中选择合适的公式来化简解析式呢？对需要化简成一角一函数的三角函数解析式，化简模型是：有轴线角时用诱导公式；有特殊角时用两角和差公式；有平方时用降幂（余弦倍角逆运用）公式；有同角正余弦乘积时逆用正弦二倍角公式，最后用辅助角公式收官.

[关键词] 三角函数 一角一函数 解题模型

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0051

三角函数是高中数学中基本的初等函数之一，该部分内容历来是高考的重点、热点之一.因其难度相对较低，普遍属于基础题、中档题，利用公式化简三角函数解析式并求其性质，是大多数学生的争分点.

对于求三角函数的性质，如周期性、最值、值域、单调区间、对称性、奇偶性等，若函数解析式已经是一角一函数y=Asin（ωx+φ）+b形式，学生可以直接求解；

若函数解析式不是y=Asin（ωx+φ）+b形式，就必须先利用公式将函数解析式化简成该形式，才能求其性质.众所周知，三角函数是整个中学数学课程内容中公式最为繁多的知识.面对众多的三角函数公式，该怎样从中选择合适的公式来化简解析式呢？许多学生觉得无从下手.虽然也有很多学生能化简出来，但他们也有一种思绪凌乱，难以把握规律的感觉.本文针对一角一函数的化简，给学生总结、归纳一个规律方法和解题技巧.

对复杂的三角函数解析式的化简，我们所用的解题简模型为：

在化简过程中，每个步骤都有明显的标志，但每次做题并不是五个步骤都要用上，有时只用到其中的一个或几个.具体的做法如下.

第一步，有轴线角（或相关的角）用诱导公式

判断表达式有没有轴线角或者与轴线角有关的角，如 π 2 +α， 3π 2 ±α

，kπ±α，2kπ±α，（k∈ Z ），若有，就可以马上用诱导公式；若没有，可以进行第二步.

第二步，有特殊角用两角和差公式

判断有没有两角和或差，如sin（x+ π 3 ），cos（x- π 4 ）等，它们通常会含有 π 3 ， π 4 ， π 6 等特殊角.若有特殊角，即可直接用两角和差公式展开；若没有特殊角，则进行第三步.

第三步，有平方则用降幂公式

判断解析式有没有sin2x或cos2x，若有，就分别用sin2=

1-cos2x 2 ，cos2x= 1+cos2x 2

进行降幂；若没有，则进行第四步.

第四步，含同角正余弦乘积逆用正弦二倍角公式

判断解析式是否含有sinx·cosx，若有，就用2sinx·cosx=sin2x代入；若没有，则可以进行最后一步.

第五步，用辅助角公式收官

经过上面四个步骤的变化，解析式会带有asinx+bcosx的形式，最后用辅助角公式asinx+bcosx= a2+b2 sin（x+φ）

，就能达到最终的目的.

下面，我们来看经典例题：

【例1】 把以下各式化简成y=Asin（ωx+φ）+b的形式.

（1）f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x；

（2）f（x）=2sin（π-x）cosx；

（3）f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x；

（4）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx；

（5）f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx.

解析： （1）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式；没有sin2x，cos2x，不用第三步降幂公式；没有sinx·cosx，不用第四步.

f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x（有 π 3 -2x，用第二步两角和差公式）

= 3 2 cos2x- 1 2

sin2x+sin2x

= 3 2

cos2x+ 1 2 sin2x（用第五步辅助角公式）

=sin（2x+ π 3 ）.

（2）此题不用第二步两角和差公式；没有sin2x，cos2x，不用第三步降幂公式.

f（x）=2sin（π-x）cosx（用第一步诱导公式）

=2sinxcosx（用第四步逆用正弦二倍角公式）

=sin2x.（不用第五步辅助角公式）

（3）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式，不用第二步两角和差公式.

f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x（用第三步降幂公式和第四步逆用正弦二倍角公式）

=sin2x+2 3 · 1-cos2x 2

=sin2x+ 3 cos2x+ 3 （用第五步辅助角公式）

=2sin（2x+ π 3 ）+ 3 .

（4）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式，不用第二步两角和差公式.

f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（用第三步降幂公式）

=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2· 1+cos2ωx 2

（逆用正弦二倍角公式）

=sin2ωx+cos2ωx+2

= 2 sin（2ωx+ π 4 ）+2.（用第五步辅助角公式）

（5）不用第二步两角和差公式.

f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx（用第一步诱导公式）

=2sin2x+ 3 sinxcosx+cos2x（用第三步降幂公式和第四步逆用正弦二倍角公式）

=2· 1-cos2x 2 +

3 2

sin2x+

1+cos2x 2

= 3 2

sin2x- 1 2 cos2x+ 3 2 （用第五步辅助角公式）

=sin（2x- π 6 ）+ 3 2 .

【例2】

（2013·安徽）已知函数f（x）=4cosωx·sin（ωx+ π 4 ）（ω>0）的最小正周期为π.

（1）求ω的值；

（2）讨论f（x）在区间[0， π 2 ]上的单调性.

分析： 此题

不需要用

第一步诱导公式、第三步降幂公式，只要用第二步两角和差公式、第四步逆用正弦二倍和公式和第五步辅助角公式.

解： （1）f（x）=4cosωx·sin（ωx+ π 4 ）

=2 2 sinωx·cosωx+2 2 cos2ωx

= 2 （sin2ωx+cos2ωx）+ 2

=2sin（2ωx+ π 4 ）+ 2 .

因为f（x）的最小正周期为π，且ω>0，

从而有 2π 2ω =π，故ω=1.

（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+ π 4 ）+ 2 .

由0≤x≤ π 2 ，得 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 .

当 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ π 2 ，即0≤x≤ π 8 时，f（x）单调递增；

当 π 2 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 ，即 π 8 ≤x≤ π 2 时，f（x）单调递减.

综上可知，f（x）在区间[0， π 8 ]上单调递增，在区间[ π 8 ， π 2 ]上单调递减.

【例3】 （2013·陕西）已知向量 a =（cosx，- 1 2 ）， b =（ 3 sinx，cos2x），x∈ R ，设函数f（x）= a · b .

（1）求f（x）的最小正周期.

（2）求f（x）在[0， π 2 ]上的最大值和最小值.

分析： 此题是三角与向量的简单结合，

不需要用

第一步诱导公式、第二步两角和差公式和第三步降幂公式，只要用第四步逆用正弦二倍角公式和第五步辅助角公式.

解析： f（x）=（cosx，- 1 2 ）·（ 3 sinx，cos2x）

= 3 cosxsinx- 1 2 cos2x

= 3 2 sin2x- 1 2 cos2x

=sin（2x- π 6 ）.

（1）f（x）最小正周期为T= 2π ω = 2π 2 =π.

（2）∵0≤x≤ π 2 ，∴- π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 .

由正弦函数的性质，知

当2x- π 6 = π 2 ，即x= π 3 时，f（x）取得最大值1.

当2x- π 6 =- π 6 ，即x=0时，f（x）取得最小值- 1 2 .

因此，f（x）在[0， π 2 ]上的最大值是1，最小值是- 1 2 .

模型解题法是近年来国家研究的重点课题.面对数学问题，我们需要不断地提炼、总结解题策略，形成程序化的思考过程或步骤.这被称为解题思维策略模型.我们可把一些题目的解决方法进行系统的归纳、概括，从中抽出有共性的、规律性的东西，形成解题的统一思维模型.我们称之为数学模型解题法.

用解题模型的具体操作方法进行思考与应用，能形成条件反射，变成我们解题的自觉行为，从而高效解题.本文介绍了—角—函数的化简五部曲，如果学生掌握了这五部曲，找到规律，便能轻而易举地化简解析式.

（特约编辑 嘉 卉）