浅谈数学美

杨秦飞 王秋月

【摘要】说到数学美，很多人第一反应便想到的是 “简洁、统一、对称、协调、和谐和奇异”等，笔者则认为，数学真正的美在于它的火热思考之美，即“思维之美”.笔者认为其主要体现在两个方面：一是数学知识的板块与板块之间通过思考建立联系的过程；二是数学解题中的“另类”思考方式和“巧妙”处理方法.本文笔者通过对数学思维美得论述，并给出其对中学教学的启示.

【关键词】数学美；数学思维美；数学本质

一、引 言

当前我们大部分人眼中的“数学美”，即是指我们利用数学知识，创造出来的具有“简

洁、统一、对称、协调、和谐和奇异等特性”的实物的外观美，或则是数学解题中推导出来的一些公式、定理等.正如张奠宙等人所指出的：“近来又见对数学美十分关注，但是翻阅一下，大同小异，无非是简约美，和谐美，对称美，奇异美那么几条，但对中学教材内容的美作些分析如何？概念之美，证明之美，体系之美，无限之美，平衡之美，可探讨的方面很多，何必总说那几句老话？”这里笔者将从数学思维的角度来阐述数学的真正美，这种美不是凭肉眼能看到的，是一种从理解、认可和精神层面去欣赏的美，是需要我们去感受的美——数学思维美.

二、数学思维美的体现

所谓数学思维美，笔者总结得出：数学思维美是数学学习过程中火热思考的过程，是波利亚所说的“解题过程中关键性步子”，是弗赖登塔尔所说的“再创造”，是涂荣豹教授所说的“数学本质”.其最重要表现在：1.数学知识的板块与板块之间通过思考建立联系的过程；2.数学解题中的“另类”思考方式和“巧妙”处理方法.

1.数学知识的板块与板块之间通过思考建立联系的过程

正如顾沛教授所说“数学的美，在于数学思想深刻之美”.而数学的思想的深刻，就要求我们必须对数学知识有深刻的理解和认识，没有深刻的认识和理解，是不能体会这种思维之美的.而对相关知识的深刻理解，正是在数学知识与知识之间建立联系，其实就是我们数学学习中说的认识数学的本质问题，其集中体现在“同一知识的不同表现形式之间的关系和建立这种关系的思维过程”.

这种理解和认识，就是要我们能慧眼识珠，在数学这个茫茫大海中，抛其迷雾，视其本质.例如：对于圆的方程（x-a）2+（y-b）2=R2，我们就可以将其从两个方面来看：一是勾股定理，可将|x-a|，|y-b|，R分别看作直角三角形的两直角边和斜边；二是三角函数，从cos2θ+sin2θ=1，可将（x-a）2=R2cos2θ，（y-b）2=R2sin2θ从而将x，y用三角函数表示出来使得很多问题简化；类似的还有椭圆、双曲线、以及函数部分都可用类似的方法找到各个板块之间的联系，使得问题简单化.试想在教学中，我们注意这方面能力的培养，引导学生自己去发现这些关系，他一旦理解了这种美，那么就不会出现“教师在讲台上一脸沉醉的欣赏着欧拉公式：eix=cosx+isinx将指数函数、三角函数以及复数通过这么简单地数学公式联系起来是多么的美丽，而学生却在下面一脸茫然，不知老师为什么因为一公式沉醉成这样”.学生为什么会这样想？究其原因，其最根本的问题还是学生没有深刻理解这些知识和这些知识板块之间的关系，这就好比让一个不懂美学的人去欣赏最后的晚餐一样，他看到就只能想到，就是一些人在一起吃最后一顿饭，却不能根深层次的理解这种美.

2.数学解题中的“另类”思考方式和“巧妙”处理方法

数学的美，表现在很多方面，但是思考方式和对问题的处理方法是其最重要和最特殊的一点.对于中学生来说，学生能接触的数学美，除了表面的美，就是在解题中来接触数学思维的美，而这种美是集中体现在数学解题过程中，对问题的思考方式和处理方法.这里“思考方式”是“处理方法”的先决条件，只有经过思考才能得出漂亮的处理方法；而“处理方法”又是“思考方式”的呈现方式，思考的方式方法，即是说看问题的角度，从不同的角度去看待一个问题，就会有不同的处理方法，例如下题第二小问：

（2014年全国统一考试北京卷.19题）已知椭圆C：x2+2y2=4

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设为O原点.若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥0B，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

一般地，判断直线与圆的位置关系，我们采取圆心到

直线的距离和半径比较，但这里我们不用点到直线的距离公

式，尝试采取在动直线上任取一点（这里取中点），求的定

点和该动直线上任一点连线的长度，那么该

长度的最小值必为该定点到该直线的距离，由于直线

在运动过程中，必然会运动到，定点和动直线上一点

的连线垂直于该动直线，而此时就是该线段的最小值——定

点到该动直线的距离.如图中，BD是动直线l，则直线外一点A与线段BD上任一点连线（如AC）的最小值都是过点A向l做垂线的垂线段AN的长；因此，如果我们要求点A到直线l的距离，那么我们只需在直线l上任取一点C，求得AC的最小值即可.

此种思考方式、处理方法令人拍手称绝，巧妙地将点到直线的距离这一机械的代公式求法，转换为动点到定点的最小值问题，使问题有了思考的火花.

三、数学思维美在中学教学中的应用建议

1.注重数学本质的理解——知识与知识之间的联系

就数学知识的教学而言，掌握和理解数学的本质是第一位.在中学教学中，无论是数学知识的新课教学，还是解题教学，我们都应该注重对数学本质的挖掘，让学生真正理解和掌握数学的本质，而这种本质正是我们所说的同一知识的不同呈现形式，即同一内容在不同的知识板块他们的不同呈现形式，让学生从根本上认识和掌握这些知识，也只有真正的理解和掌握了这种数学本质，学生才能在数学的海洋里“潜泳”而不是“漂浮”；才能做到在问题与问题之间的转化，使我们的教学达到事半功倍的效果.

2.充分暴露数学思维过程

数学自身即是抽象的思想化材料，那么在教学中暴露数学的思维过程是必然的.当然我们不仅要暴露数学家的思维过程，还要暴露教师的思维过程、学生的思维过程，让学生将自己的思维过程和数学家、教师的思维过程进行比较，从比较中体会数学的思维美.更重要的是要学习数学家的思维方式和方法，从思维上进行理解和认识数学的思维美，从而提升学生对数学的兴趣，以达到数学教学的质量.

3.注重思维方法的再创造

正如大数学家和教育家弗赖登塔尔所说：“重要的不是仅仅会使用构造好的材料，而是以这种材料更好的进行创造性活动”.如果说前两者是对于知识的储备，那么“思维方法的再创造”则是具体的实际应用.在教学中，我们已通过前两点让学生体验到数学的思维之美，那么，接下来就是让学生学会自己去领悟和体会这种来自思维的美；这就要求教育者在暴露了自己的思维过程之后，再通过知识与知识之间的联系，来进行对思维方法的拓展思考，即在不同的角度和不同的知识板块对现有问题的进行新的思路和理解的探究，从而达到培养学生的创造能力.

【参考文献】

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