从浙江省2016年高考样卷理科数学第15题感悟“最值定义”的魅力

胡尤

【摘 要】数学作为理科哲学，数学定义的魅力光环使得数学在严谨、科学、概括上较其他学科更加闪亮。本文通过浙江省2016年高考样卷理科数学第15题的解题策略感悟“最值定义”在具体解题中的功能，从而进一步呈现数学定义的魅力。

【关键词】最值定义；放缩法

案例1：浙江省2016年高考样卷理科数学第15题：

已知函数 ， ，且 .记 为|f（x）|在[0，1]上的最大值，则 的最大值是 .

一、此题的分析与释疑

1.常规思路分析

①结合二次函数图像，当 时，|f（x）|的最大值会在 中取得；当 ，|f（x）|的最大值会在|f（0）|、|f（1）|中取得。

②若动对称轴分类讨论，需分 在（-∞，0]，（0， ]，（ ，1]，（1，+∞）四个区间分四类讨论，且每一类讨论中还有两种最大值的取得情况，这势必给解题时间上和运算上带来极大的困难。因此，我们需要另辟视角来解决这个问题。

2.放缩法求解过程

记M=M（a，b，c），则f（0）≤|f（0）|≤M，f（1）≤|f（1）|≤M，则

。

当f（0）=f（1）=M时取到最大值2。

3.放缩法求解过程中的疑难点

①为什么要把分母凑成“f（0）+f（1）”的倍数。因为我们需要的最值是一个常数，所以分子和分母必须成倍数方可。同时，若能够证明 就意味着 的每一个取值都不大于C，所以只需C可以取到，它就是最大值。

② 一定会成立吗？由上文的解答过程可知，要使放缩中等号同时不仅要满足f（0）=f（1）=|f（0）|=|f（1）|，更重要的是要满足f（0）或f（1）就是最大值，而此时在区间 在区间[0，1]中，因此要使等号取到，只需满足 。结合二次函数图像，这种情况是完全可以取到的，如下图：

我们不妨取 即可。

回归教材

总结本题的解题过程，可以分解为两个步骤：

①先利用放缩给出一个闭区间范围；

②验证“=”成立的可能性。

其实这就是不等式求最值的步骤，它遵循的是最大值定义的内涵，就是必修一教材《函数的基本性质》中有一段对最大值含义的描述：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M。

那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值。

数学题目往往都会“出课本”，但它却又“出于课本”。对最大值定义的充分理解，无疑会给我们的解题带来精神和智力上的动力。无独有偶，我们再从高考和自主招生试题中去感悟最值定义的魅力。

二、拓展与延伸

案例2：2009年北京大学自主招生题

已知对任意实数x，均有acosx+bcos2x≥-1恒成立，求a+b的最大值。

分析：①先给出一个a+b闭区间范围

要求a+b的最大值，自然想到使cosx=

cos2x=2cos2x-1，解得 ，于是有a+b≤2。

②验证a+b=2可成立

因a=b-2，所以只需（2-b）cosx+bcos2x=

2bcos2x+（2-b）cosx-b≥-1恒成立，即2bcos2x+

（2-b）cosx-b+1≥0恒成立。

当 ，即 ，从而 时，既满足a+b=2，又符合题意中的条件。

由以上两点可知a+b的最大值为2。

以上题目是对“最值定义”在求值应用中的魅力呈现，有时候，也会直接考查对定义的理解，如2015年浙江省高考理科卷第15题：

已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对任意 ， ，则x0= ，y0= ，|b|= .（答案： ）

题意理解：根据最小值定义，求当 ，取得最小值1时 的取值。如果有些学生不理解这层意思，解题策略会捉摸不定，题目也会难以入手。因此，对最值定义的准确理解，不仅帮助我们解题，更是带领我们“入题”。

数学定义是所有学科中最为准确与严谨的定义。学生对“最大值”的认知往往停留在“所有数值中的最大者”，却往往忽略了更为严谨、科学的数学定义。前者所对应的解决策略一般为函数法求最值，而后者对应的策略就更为广泛。因此，对知识点定义的理解不同会形成对相应问题不同的理解与策略。

以上论述也很好的佐证了定义就是数学的本源。这要求我们在日常解题教学中，应该重视数学定义的多角度理解，努力挖掘数学的本源，让学生在解题中去领悟数学这门理科哲学的魅力。