极限思维数学解题的一把利刃

王陈俊

作为数学解题中一种重要的解题思路和方法，极限思维对优化高中生数学解题方法、为学生提供更为广阔的解题思路至关重要.因此授课教师在进行高中数学知识讲述时，需要将极限思维的解题方法渗透到课程讲述中去，最终使极限思维成为学生解题中的一把利刃，所向披靡.

一、化繁为简，快速选择

作为数学解题中的一种重要方法，极限思维在数学解题中的地位不容置疑.尤其在高考选择题的解答中，巧妙应用极限思维会极大地减轻学生的运算量，为学生优化解题方案提供更为广阔思路.同时应用极限思维对数学题目进行解答的过程，也是学生不断对题目进行思考和分析的过程.所谓极限思维，又可以称之为非常规思维，学生在解答时需要突破常规，用极限思维方法对题目进行解答，这种极限既可以是最大值，又可以是最小值，还可以是边缘值，不论是哪一种类型，只要在解题中巧妙加以应用，都可以达到学生通过对相关题目进行的简化分析和解答，可以应用极限思维对某些特殊的选择题进行简化和解答，最终达到快速解题的目的.

例如学生在学习高中数学必修五，第三章《不等式》时，必然会遇到一些关于不等式的选择题.例如已知二次函数y=x2-9，在以下各选项中哪个选项的函数值恒大于零？

A.-3

C.-4

在对类似这样的选择题进行解答过程中，常规的解题方法固然可以将该题目解答出来.应用常规方法对该题目进行解答时，可以根据二次函数的图形特点，将函数图形做出，同时需要将函数图象置于x轴以下的x的取值范围求出，最后虽然可以对该题目进行解答，但步骤复杂，运算量较大.由此可见，常规运算法虽然可以对题目进行解答，但耗时耗力.例如，在分析选项C的时候，最简单的可以将x=0代入到到函数中，可以得出y=-9，可以将该该选项排除，同理可以应用极限赋来.

因此在解答该题目的时候，学生可以巧妙应用极限思维，在解题中应用恰当的技巧对题目进行分析和研究，将繁琐的解题步骤进行简化，应用极限思想的解题策略对题目进行解答.在对该题目进行解答时，可以应用极限思想选择一些特殊点的极限值进行验证，最终应用较短的时间，耗费较小的精力将该题目较容易地解答出来.

二、做出假设，优化数列

作为高中数学解题思路的一种类型，极限思维中的假设法的应用对学生进行数列章节学习的帮助是显而易见的.极限思维不仅简化了解题步骤和流程，更为题目的解答提供了新思路和新方法.因此，学生在解题过程中遇到比较难以解答的问题时可以尝试应用极限思维对相关问题大胆做出假设，许多问题或许会因此而得到解答.正可谓是“山重水复心莫灰，巧用假设解难题”.

例如在学习人教版必修五第二章《等差数列》，已知a1=2、a3=6，在进行数列{an}公式推导时，学生可能根据自己的判断，推导出通项公式an=3n.这个结果乍一看挺像那么回事，但进行进一步分析的时候，会发现这个通项公式似乎并不正确.我们假设这个通项公式满足数列中所有的项，那么我们可以将n=1，n=3代入到通项公式中去.如果代入n的各项值均满足通项公式，那么求出的该数列的通项公式可能是正确的，否则通项公式必然不能符合数列中所有的项，即通项公式不成立.假设该题目中的通项公式为an=3n，把n=1代入到通项公式中，可得出a1=3×1=3，与该题目题干中的已知条件a1=2相矛盾，由此可知所得出的等差数列的通项公式不成立.因此在求解该通项公式时，可以应用通项公式求解方程，应用an=a1+（n-1）d，将方程的各项代入后求解，最终可以得出an=2n.再次将等差数列中的各项尝试代入，发现各项均满足该通项公式.

通过习题中的具体实践可知极限思维的应用在数学解题中的作用较为显著，可以明显改善提高学生的学习效率，通过在数列学习中应用的假设解题法，可以帮助学生迅速做出判断，去伪存真，优化数列.

三、整体代入，妙解函数

极限思维是一种非常规解题方法，培养高中生的极限思维不仅有助于学生更好进行数学解题，更有助于拓宽学生的解题思路，有助于学生发散思维能力的培养，对学生创造性的思维的形成和发展起着引导和支持促进作用.极限思维是解题中不拘一格的解题策略，更是解题过程中善于尝试、敢于另辟蹊径的一种态度.

例如在进行函数y=2x单调性判断的时候，如果学生无法准确作出该函数图象，就无法准确预测出该指数函数的单调性情况.此时则可以应用极限的思想对该函数的单调性进行预测，当x=0时，y=1；随着x的增加，如x=1，2，3，…时，y的值是逐渐增加的过程，且x每增加1，y的值总是之前的2倍，如此类推，则x取正无穷的时候，那么y的值也将趋向于正无穷，由此可推知：y=2x的单调性为：随着x的增加，y呈增加的趋势.根据函数单调性的定义可知该函数为单调增函数.当然，如果知道该函数的图象，应用数形结合的解题思路，可以轻松判断出该函数的单调性.除此之外，学生可以应用极限思维思考，充分发挥自己的想象力，通过整体代入的方式，巧妙将这一问题进行解答.想要知道y=2x的单调性的情况，通过做差的方式实现，当x=n+1时与x=n做差，判断差值的大小即可判断出函数单调性的情况.差值c=2n+1-2n=2n，可知c>0，因此函数为单调递增函数.同样的，也可以令x=n+1、x=n，当x取不同值时作商，判断结果与1的关系.

不论应用何种方法对该问题进行解答，都需要学生具备清晰的思路.在应用常规方法无法正常解题比较麻烦或者运算量比较大的时候，授课教师要引导学生“另辟蹊径”，并将这种方法逐渐转化为学生的自主意识，最终转化为学生的学习能力.

在数学解题中巧用极限思维不仅能帮助提高解题效率，更能逐步帮助学生养成勤学善思的好习惯，让学生以多种视角审视问题，最终将学生培养成为创造力十足的实用性人才.