把数学模型思想融入到线性代数教学中的思考

杜润梅 郭明浩 孙瑶

【摘要】 线性代数在各学科，各领域中有着广泛的应用，而线性代数的知识是枯燥，乏味的.我们分析了把数学模型的思想融入到线性代数教学中的重要意义，并列举了两个简单实例.

【关键词】 线性代数；数学模型；建模

随着科学技术的快速发展，线性代数在各学科，各领域中的应用更为广泛.线性代数是所有高校理工类专业及经管类专业中的一门非常重要的公共基础课程之一，它具有较强的逻辑性、抽象性和实用性，它是学生学习其他专业课的基础，也是学生用来解决一些实际问题的重要方法.然而，学生在学习线性代数的知识时，大多反映线性代数的知识枯燥，计算复杂，没有兴趣.因此，在线性代数教学中结合实际问题，把数学建模的思想融入到线性代数教学中，可以有效的激励学生去学习线性代数，并能创造性地解决实际问题.

通过高等教育心理学的学习，我们都知道，学生在学习时，只有明确自己的学习目的，认识到学习的意义，才能产生学习的兴趣，有强烈的学习动机.如果将数学建模的思想和方法融入到线性代数的日常教学中，能够让学生把理论知识和实际问题联系起来，认识到所学知识的用途，不仅可以激发学生学习线性代数的兴趣，而且可以调动学生使用线性代数的知识解决实际问题的积极性，培养学生解决实际问题的能力.把数学模型思想融入到线性代数教学中，不仅能帮助学生学习知识，理解知识，运用知识，对教师本身的业务能力也有提高.教师在教学时，不仅要具有扎实的理论知识功底，还需要具有解决实际问题的能力，这就迫使教师要查阅大量的资料，整理出适用的案例，不断学习新知识，了解新技术，进而提高教学和科研能力.

下面我们介绍一些在线性代数教学中融入了数学模型思想的实例.

1.投入产出问题

设有n个部门，记一定时期内第i部门的总产出为xi，对第j部门的投入为xij，外部需求为di，则

xi=∑ n j=1 xij+di（i=1，2，…，n）. （1）

记直接消耗系数为aij，它表示第j部门的单位产出中对i部门的直接消耗，

aij=xij/xj，（i，j=1，2，…，n）.

记直接消耗系数矩阵A=（aij）n×n，产出向量 x =（x1，x2，…，xn）T，需求向量 d =（d1，d2，…，dn）T，则（1）式可写为 x =A x + d .

若I-A可逆，则 x =（I-A）-1 d .

这是对矩阵乘法及其逆的应用.

2.公司采购问题

某公司计划用Y元钱采购物品A，B，C，D，设每种物品单价分别为a1，a2，a3，a4元.他一共要买的数量为W个，请给该公司计划一下能买到多少个物品A，B，C，D？

模型假设：公司购买的物品数量很大，数量的个数可视为连续变量.

模型建立：设该公司购买的物品A，B，C，D的数量分别为x1，x2，x3，x4个，则有方程组

a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=Y，x1+x2+x3+x4=W.

由于此方程组未知数的个数大于方程的个数，因此该方程组有无穷多解.设Y=100，W=50，a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，则可得方程组的解为

x1=-c1+c2，x2=c1，x3=50-2c2，x4=c2.

其中c1，c2为任意使得x1，x2，x3，x4为正整数的常数.

这是对线性方程组的应用.

除了我们前面所介绍的两类模型，线性代数在很多其他数学模型中都有重要的应用.将数学建模思想融入到高等数学的线性代数教学过程中，不仅是为了使学生有兴趣学习线性代数的知识，更是为了培养学生解决问题的能力.如何将数学建模思想更好地融入到大学数学教学中是我们大学数学教师应该认真思考的问题之一.

【参考文献】

[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M] .高等教育出版社.2011.

[2] 杨庆.线性代数在数学建模中的一些应用[J] .科技资讯，2012，8：199-201.

[3] 许维珍.数学模型中矩阵的应用[J] .湖南农业大学学报（社会科学版），2008，9（5）：84-86.

[4] 李秀兰，张红玉.线性代数在数学建模中的应用[J] .山西大同大学学报（自然科学版），2010，26（2）：3-4.