当心惯性思维在数学解题中的负效应

屠广平

[摘 要] 初中生在数学解题时常会出现生搬硬套、主观臆测、思路单一、疏于反思等现象. 本文依据实例剖析这些现象与惯性思维的内在联系，旨在为消除和防范惯性思维在数学解题中的负效应提供一点启示.

[关键词] 数学解题；惯性思维；负效应

惯性思维对于数学解题既有正面效应，也有负面效应；既可能使解题者缩短对新问题的探索过程，也可能诱导解题者步入误区. 从初中数学教学的实践看，惯性思维对学生的负面影响比较明显，致使学生常常陷入解题困境. 基于此，本文用实例揭示惯性思维的负效应在数学解题中的主要表现，剖析成因，探讨应对策略，以供参考.

负效应之一：生搬硬套，适得其反

初中生受知识、经验等诸多因素的限制，在解题时往往会对教师所传授的解题模式产生依赖. 这种心理倾向会束缚学生的解题思维，养成机械模仿、生搬硬套的解题习惯.

实例 在学习解二元一次方程组的课堂上，教师给出如下练习题：

已知关于x，y的二元一次方程组x+y=6m，x-y=2m的解满足3x+2y=16，求m的值.

学生根据本节课教师讲解例题的解题方法，做出了正确解答：先解二元一次方程组，得到x=4m，y=2m，再将所得的解代入3x+2y=16，解得m=1.

为加深学生对二元一次方程组解法的理解，教师布置了相关课后习题，其中一题是：已知关于x，y的二元一次方程组ax+y=3，2x-y=6的解满足x-2y=3，求a的值.

分析 教师布置该习题的意图是让学生用本单元已经学过的关于“同解问题”的知识求解，其正确的解题思路应该是：先把两个不含字母a的方程组成新的方程组，即先解方程组x-2y=3，2x-y=6，解得x=3，y=0，再将所得的解代入ax+y=3中，解得a=1. 然而，有的学生一看到该课后习题与课堂上的例题和习题在形式上几乎相同，便不假思索地照套不误，原以为“一套就灵”，结果套出了问题.

启示 习惯“对题型，套解法”是初中生在解题时的“常见病”，如果不注意防治，就会严重阻碍学生思维的发展，影响学生的数学学习. 因此，在数学解题教学中，教师传授解题知识时应注意调动学生主动参与知识建构的积极性，让学生在参与中理清解题思路，领悟解题方法，做到既知其然，又知其所以然，由此加深学生对数学知识的理解，防范因循式解题思维的形成，克服“照样画葫芦”的解题习惯.

负效应之二：主观臆测，疏漏频出

由于学生只回答了a≠0的情况下函数图像与x轴的交点坐标，没有回答a=0时函数图像与x轴的交点坐标，所以解题错误.

启示 著名数学家波利亚指出：在解题中最糟糕的情况是，学生并没有理解问题就进行演算或作图. 惯性思维诱导下的主观臆测就会让这种“最糟糕的情况”频频出现. 因此，在数学解题教学中，教师应注意引导学生认真审题，在拟定求解计划前务必仔细解读题目的表述，理解题意，弄清问题，从而变“臆测”为“明察”，以阻断解题知识和经验的负迁移.

负效应之三：思路单一，迷途难返

惯性思维会形成认知的倾向性，导致学生在解题时习惯于按固定的思维模式和解题方法去思考和解决问题. 在解题受阻的情况下，学生会按照原来认准的路径一个劲地往前闯，以致造成“钻牛角尖”的情形.

实例 在一次测试中，试卷上有这样一道题：如图1，已知△ABC的内角平分线BD和CE交于点F，∠BAC=60°，求证：EF=DF.

部分学生证明此题时是连接AF，试图证明△AEF≌△ADF. 在发现连接AF无法证明时，学生依然想利用“三角形全等”对该题做出证明. 冥思苦想中又试画了不少辅助线，但始终找不到出路，最后以失败告终.

分析 “全等三角形的判定”是初中平面几何教学中的重要内容，其安排的教学时间相对较长，用三角形全等的方法去论证命题的训练也比较多. 这一过程，使学生产生凡碰到平面几何证明题均用“三角形全等”去进行论证的惯性思维. 因此，在解该试题时，学生虽屡屡碰壁，仍一意孤行，结果只能是“望题兴叹”. 其实，该题正确的解题思路不能用“三角形全等”，而应该用“计算”的方法去求证，即先算出∠EFD=120°，然后求得∠EFD+∠BAC=180°，从而得到A，E，F，D四点共圆，接着由“在同圆或等圆中，等角所对的弦相等”得出EF=DF.

启示 数学解题是一个复杂的思维过程，固定的思维、单一的思路很难解决千变万化的问题. 因此，在数学解题教学中，教师应采用一题多解、一题多变、一题多思等方法去拓展学生的思维，引导学生从不同侧面、不同角度去寻找解题方法，让学生学会联想、学会求异、学会变通，从而摆脱惯性思维的束缚，促使问题得到有效解决.

负效应之四：疏于反思，一错再错

反思是思维活动的核心和动力，是学生消除数学解题中各种困惑、提升数学解题能力的最佳途径. 然而，深入到潜意识中的惯性思维会使学生产生思维惰性. 对于数学解题中至关重要的反思活动，学生会认为这费神费脑而予以排斥. 但是，反思环节的缺失，会导致学生在解题时陷入一错再错的“泥沼”.

实例 学习“绝对值”这节课的内容后，教师给出这样一道练习题：已知a+1=2，求a的值.

部分学生的答案是a+1=2，解得a=1.

该答案忽略了a+1=-2的情况，出现了漏解.

对于这一错误，教师应组织学生讨论，督促学生订正，并反复强调：若两数相等，则它们的绝对值相等；若两数互为相反数，则它们的绝对值也相等. 还应要求学生在课后认真反思，务必认清出错根源，防止同样的错误重复出现.

然而，在单元测试中，当遇到“已知a+2=2a-5，求a的值”这样一道同类题时，有的学生又习惯性地由a+2=2a-5得到a=7，遗忘了a+2=-（2a-5）的情况. 其出错的方式与上一题完全一样.

分析 由于学习绝对值的相关知识时刚引入负数，所以学生对绝对值概念的理解很容易出现偏差，解题时往往会根据小学的数学知识，习惯于正数的运算而忽略负数的存在，由此导致解题出错. 出错后，有的学生没有认真反思，结果在单元测试中碰到同类题目时，被惯性思维再次引入解题误区.

启示 学生在解题时出错很正常，但重复出错则是解题之大忌. 因此，在数学解题教学中，教师要对“惯性思维——思维惰性——疏于反思——一错再错”的轨迹有一个清醒的认识，坚持从培养学生的反思意识和反思能力入手，促使学生从疏于反思走向勤于反思，让学生在自主反思中明白解题出错的根本原因，引起对惯性思维负效应的警觉，跳出“做了错，错了改，改了还错”的解题怪圈，从而收获“柳暗花明又一村”的喜悦.