基于分数布朗运动模型的上证50ETF期权定价研究

邹良凯，吴礼斌

(安徽财经大学 数量经济研究所，安徽 蚌埠　233030)

基于分数布朗运动模型的上证50ETF期权定价研究

邹良凯，吴礼斌

(安徽财经大学 数量经济研究所，安徽 蚌埠233030)

摘要：在对50ETF的收盘价序列做了正态性检验后，发现ETF基金市场存在着分形结构。对此建立了分数B-S模型的上证50ETF期权定价分析，同时也使用了B-S模型进行分析。通过比较两个模型所计算出的期权的理论价格与实际价格的误差可知，在对上证50ETF期权定价分析中，分数B-S模型要比B-S模型效果更好。

关键词：50ETF；分数布朗运动；期权定价；重标极差分析法

近年来的研究与应用发现实际的金融市场中股票的价格变化并不满足对数正态分布，而是服从一种尖峰厚尾的分布。这使得用B-S模型来求解期权的理论价格不符合实际情况，所造成的偏差也将会更大。为解决真实市场中股价出现的自相似与长程关联性的问题，分数布朗运动被提出，分数布朗运动具有的自相似性和长程关联性的特点，能够更加有效地描述实际金融市场中股票价格的变化情况。在已有的关于50ETF实证分析的文献中，几乎所有的文献所使用的模型都是B-S模型。文中在使用B-S模型对50ETF进行实证分析的同时也使用了分数B-S模型对50ETF进行了实证分析。分别对两个模型所得到期权的理论价格与实际价格进行对比，并分析造成偏差的一些可能原因。

一模型介绍

1.分数布朗运动。

分数布朗运动的理论雏形是1941年由安德列·柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)在希尔伯特空间框架中定义和研究形成的。而分数布朗运动的构造方法和概念是由曼德尔布罗特(Mandelbrot)和范内斯(VanNess )在1968年提出的。[1]

定义[2]设(Ω，F，P)为一个概率空间，Hurst指数为H(0〈H〈1,)的连续Guassian过程为

BH=BH(t),t ∈[0,T]，

若它满足

(1)BH(0)=E[BH(t)]=0，对于任意的t>0；

那么BH(t)就叫做分数布朗运动。

2.B-S模型。

B-S模型是在诸多严格的条件假设下，得出了一个确定欧式看涨期权价格的公式

C=SN(d1)-Kexp-rtN(d2)

(2.1)

其中C代表欧式看涨期权的理论价格，S代表标的股票的现行执行价格，r代表无风险利率，K代表看涨期权的执行价格，σ代表标的股票年价格变动的标准差，t代表期权距离到期日的时间，N(d1)和N(d2)是标准正态分布变量的累积概率分布函数。

3.分数B-S模型。

基于分数布朗运动下的金融产品均满足如下的偏微分方程

在给出一个确定的临界条件时，上述偏微分方程有唯一解。下面以欧式看涨期权为代表求解上述带有临界条件的偏微分方程。对于欧式看涨期权来说，它的到期日的现金流量为Cr=max(Sr-K,0)，其中K为执行价格，St为股票到期日的价格。利用这个临界条件求解出的上述偏微分方程的解就是分数布朗运动下的欧式看涨期权的定价公式。

即C(t,S(t))

=S(t)N(d1)-Kexp{-r(T2H-t2H)}N(d2).

(3.1)

其中

由于股票的价格St可以从市场上观测到，期权的行权价格K和距离到期日的时间长度T-t都是由期权的条款和交易时间决定的，只要通过适当的方法确定股票价格的波动率σ和无风险利率r这两个参数，再根据上述公式即可计算出分数布朗运动下的欧式看涨期权的价格。

二数据处理及实证研究

参数的选取：本文利用上证50ETF的日收盘价作为研究对象，同时选取50ETF购9月2200代码(10000031)的合约的2015年2月9日到2015年8月6日的120组日收盘价作为期权的实际价格，选取银行存款利率作为无风险利率r=0.023，到期日为2015年9月23，执行价格为k=2.2。

在估计赫斯特指数H时首先对这120个交易日的收盘价取对数收益率，这是因为将原始数据转化为对数收益率会消除原始数据可能存在的一些不平稳因素，同时在对这120个数据进行重标极差(R/S)分析前，首先对它们的对数收益率即St进行正态检验。下面利用Eviews对这组对数收益率的序列进行正态检验，检验出的结果见表1。

表1　50ETF的对数收益率序列的正态性检验

由表1可以清楚地看到50ETF收盘价的对数收益率序列是左偏的，同时峰度也大于3，这说明它具有明显的尖峰特征，又由于它的JB统计量大于其临界值且概率很小，因此有充分的理由说明这个对数收益率序列是拒绝原假设的，即它不服从正态分布的假设。因此采用B-S模型对以50ETF的收盘价为标的资产的期权定价时难免会出现偏差，而是用分数布朗运动来描述价格的波动更为合理。下面利用重标极差法对这组对数收益率序列的赫斯特指数H进行估计，分别得到对应增量n下的赫斯特指数估计值，将它们取对数并利用Eviews进行最小二乘回归得到,上证50ETF日收盘价对数收益率的赫斯特指数为H=0.58654。

由波动率计算公式计算出σ=0.426，再根据(2.1)式和(3.1)式可分别计算出B-S模型和分数B-S模型下期权的理论价格。

本文选取平均偏方差的百分率AMSE作为评价分数B-S模型和B-S模型的评价公式。

其中Ci表示的是期权的实际价格，Ci(z)表示的是期权在模型下的计算出的理论价格，z在此处表示的是分数B-S模型或是B-S模型，n表示的是所选取的样本的数量。由平均偏方差的百分率AMSE的定义可知，在z模型下计算出的AMSE的值越小就表示该模型的拟合效果越好。两个模型计算出的平均偏方差的百分率AMSE的值见表2。

表2　两种模型下期权价格的平均偏方差的百分率AMSE

为了能够更加直观地看到由分数B-S模型和B-S模型所计算出的期权价格偏差，我们将两种模型所计算出的期权的理论价格和实际价格绘制在一张图上，见图1。

图1　两种模型下期权的理论价格与实际的市场价格折线图

观察图1，可以看出由两种模型所计算出的期权的理论价格与期权的实际市场价格首次交叉之前，由分数B-S模型计算出的理论价格要比B-S模型所计算出的理论价格更加接近实际价格，在两种模型下的理论价格与实际市场价格首次交叉之后，由分数B-S模型与B-S期权定价模型所计算出的期权的理论价格曲线基本重合。总的来看，分数B-S模型要比B-S模型具有更好的拟合效果。另外，图1还可以更加方便地判断投资者在何时买入和卖出这种看涨期权。对于看涨期权来说，如果期权的理论价格大于期权的实际市场价格，那么这份看涨期权就被认为是低估的。在不存在交易成本的情况下，买入这种看涨期权是可以获利的。反之卖出这种看涨期权是可以获利的。

由图2可以看出由分数B-S模型得出的期权价格偏差序列比B-S模型得出的期权价格偏差序列更加接近零。这说明使用分数布朗运动来描述期权价格的变化趋势要比标准布朗运动效果更好。

图2　两种模型下期权价格的偏差序列

通过对上证50ETF的期权定价实证分析，我们得到以下结论：

1.经过比较两个模型所计算出的期权的理论价格与实际价格的曲线图和偏差序列图可以看出，无论是B-S模型还是分数B-S模型所计算出的期权的理论价格与实际价格都有一定的偏差，但是分数B-S模型所计算出的期权的理论价格的偏差要低于B-S模型所计算出的期权的理论价格的偏差，这说明，分数B-S模型要比B-S模型所计算出的期权的理论价格更加地接近实际价格；

2.通过分析分数B-S模型与B-S模型所计算出的期权的理论价格与实际价格的平均偏差方百分比率AMSE可知，分数B-S模型要比B-S模型所计算出的AMSE低，这说明，在描述期权定价的过程中，使用分数B-S模型要优于B-S模型；

3.尽管分数B-S模型与B-S模型所计算出的期权的理论价格与实际价格都有一定的偏差，但它们所描述的期权价格的变化趋势却是大致相同，这便为期权交易的投资者提供了一定的信息，比如投资者可以根据这种变化趋势对未来的期权价格变化趋势作出判断，以便在买入和卖出期权时能够获取利益。

造成分数B-S模型与B-S模型所计算出的期权的理论价格与实际价格的偏差的主要原因有:

1.对于B-S模型来说，它的一个重要假设是股票价格的变化是一个对数正态分布，也就是说股票的价格变动必须遵循连续的随机游走过程，但是在实际的市场中，股票的

价格变动不单单是对数正态分布，同时也存在着一种尖峰厚尾的分布;

2.在两个模型中都假设股票价格的波动率是常数，但在实际的市场中，股票价格的下降一般会使得股票价格的方差增大，反之股票价格的升高一般也会使得股票价格的方差减小，也就是说股票价格的不断变化会导致波动率也不断的变化，所以两个模型中股票价格的波动率为常数的假设并不能得到保证;

3.两个模型中都假设股票的交易是连续的，股票的交易者可以通过这种不断的交易来建立一个若干单位股票的多头和包括一份股票看涨期权空头的投资组合。从而使得股票看涨期权空头的收益和损失总是会与股票多头的损失和收益相互抵消，因此这种投资组合在短期内便可以看成是无风险的。但是在实际的市场中，股票交易的连续性并不一定能够得到保证。它受到很多因素的限制，比如在借入和贷出一定的资金时它们的无风险利率不一定相同，在不断的交易过程中会产生较大的交易成本，因实际情况而定，股票并不一定是完全可分的。由于这些因素制约着股票交易的连续性，所以在实际的市场交易中，投资者的风险偏好也将对期权的价格产生一定的影响;

4.两个模型中都假设没有交易费用和税收，但是在实际的交易过程中交易费用是肯定存在的，同时股息的发放金额和时间的不同也会对期权的价格产生一定的影响，对于欧式看涨期权来说，应当使用股票的市场价格减去股息所得到的值来代替股票原来的市场价格，在期权定价模型中运用这个值所计算出的期权的理论价格将更加接近期权实际的市场价格。

参考文献

[1]B.B.Mnadelbrot,J.W.Van Ness,Frational Brwoninan amotions, fractional noises and applications[J].SIAM Review 10, 1968:422-437.

[2]陈松男.金融工程学[M].上海:复旦大学出版社,2002.

Class No.:F830.91Document Mark：A

(责任编辑：郑英玲)

Option Pricing of Shanghai 50ETF based on Fractional Brownian Motion Model

Zou Liangkai, Wu Libin

(Quantitative Economic Research Institute, Anhui University of Finance and Economic, Bengbu, Anhui 233030，China)

Abstract：This paper tests the normality of the sequence of the closing price of 50ETF, the test shows the ETF fund market exists a fractal structure. We analyze the option pricing of Shanghai 50ETF based on the fraction B-S model and the B-S model. By comparing the actual error between the theoretical price and the practical price of the option price calculated by the two models, we consider that the fraction B-S model better than the B-S model in the analysis of the option pricing of Shanghai 50ETF.

Key words：50ETF; Fractional Brownian Motion; option pricing; Rescaled Range Analysis

中图分类号：F830.91

文献标识码：A

文章编号：1672-6758(2016)01-0075-3

基金项目：安徽财经大学重点课题“信用衍生品定价研究”(编号：ACKY1402ZD);安徽省教育厅自然课题“基于分数布朗运动的信用衍生品定价及其引用研究”(编号：KJ2013Z001)。

作者简介：邹良凯，硕士，安徽财经大学数量经济研究所。研究方向：数量经济学。

吴礼斌，副教授，安徽财经大学数量经济研究所。研究方向：数理统计、计量经济学。