浅谈变形技巧在中职数学教学中的应用

冯会奇

摘要：许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间内快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经验与方法。本文以举例的形式重点介绍了在中职数学三角函数、不等式以及数列解题中的应用。

关键词：变形技巧；中职数学；三角函数；不等式；数列

中图分类号：G6718文献标识码：B文章编号：1672-1578（2016）04-0280-01

变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。掌握并灵活应用这些技巧，在解题时往往能化繁为简、游刃有余。

1.三角函数中变形的应用

三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等代数、初等几何的关系十分密切。特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函数名称、三看结构特征。除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件。

例1.已知y=sinA+√3cosA，求该函数的最大值和最小值。

分析：首先利用三角形的恒等变形，先进性函数化简，在进行求解。

解：y=2（12sinA+32cosA）=2（sinAcos60°+cosAsin60°）=2sin（A+60°），所以本函数的最大值为2，最小值为-2。

点评：本题实际利用三角恒等式形如asinA+bcosA（其中a，b为非零实数）的三角函数式化归为同名同角三角函数式的方法。

例2.试求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。

分析：由于cos2A+sin2A=1，con2A-sin2A=cos2A，所以我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度。再观察所求三角函数式，不难发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决。

方法一：设x= cos210°+cos250°-sin40°sin80°，y= sin210°+sin250°-cos40°cos80°，则x+y=2-cos40°，x-y=cos20°+cos100°+cos120°=2cos60°cos40°-12=cos40°-12，两式相加，得2x=32，即x=34，所以cos210°+cos250°-sin40°sin80°=34。

方法二：原式=sin280°+sin240°-2sin40°sin80°*cos60°，构造△ABC，使角A=80°，角B=40°，角C=60°，外接圆直径2R=1，由正弦定理得a=sin80°，b=sin40°，c=sin60°；由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos60°，所以sin280°+sin240°-sin80°sin40°=34，故cos210°+cos250°-sin40°sin80°=34。

点评：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧。

2.不等式解题中变式的应用

不等式作为数学的重要内容，对学习者的逻辑推理要求较高，解这类题时经常用到变式。

例3.已知a﹥b﹥c，求证1a-b+1b-c ≥4a-c。

分析：通过观察可发现a-c可以变形为a-b+b-c，即式子a-c中加了0。（-b+b=0）。则再利用不等式的性质可方便解决这道题。

证明：因为a﹥b﹥c，所以a-b﹥0，b-c﹥0，所以（a-c）（1a-b+1b-c）=[（a-b）+（b-c）]（ 1a-b+1b-c） ≥a-bb-c*21a-b*1b- c=4，又因为a-c﹥0，所以 1a-b+1b-c ≥4a-c。

点评：不等式的证明中常见的变形技巧主要包括拆项、配项，添项、凑项、除项、分离、平方、换元、放缩、引参等，在解题时，当不能明确地看出是否可以应用基本不等式时，如果合理地应用变形技巧，可以快速简捷进行巧解，进而取得事半功倍之效。

3.在数列解题中变形的应用

数列问题是中职数学的重要知识点。求和问题一直是数列研究的重要方向。对于复杂数列往往习惯采用对通项公式变形，将其变为熟悉的数列的求和问题。常用的变形方法有公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法。

3.1公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。如：等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1，则a21+a22+a23+…+a2n=____。

2.倒序相加法。若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）如：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值。

3.3错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）如：求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1。

3.4分组求和法。在直接运用公式法求和有困难时，常将"和式"中"同类项"先合并在一起，再运用公式法求和。如：求和：Sn=-1+3-5+7+…+（-1）n（2n-1）。

3.5裂项相消法：如果数列的通项可"分裂成两项差"的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和。如：求和：11×4+14×7+…+13n-2×（3n+1）=____。

总之，变形在数学解题中的运用时很常见的，有鉴于题型的千变万化，变形的方法也因题不同。但笔者相信只要勤于练习，勤于思考，就能找到其中的规律。

参考文献：

[1]王烨.浅谈变形技巧在中职数学中的应用[J].数理化解题研究，2016（03）.