线性代数中的矩阵表示

徐杉杉

【摘 要】文章主要从向量空间、线性方程组、行列式、特征值与二次型四个方面着手，列举了矩阵理论在线性代数中的表示，以期能够帮助教师提高教学质量，促进学生发展。

【关键词】线性代数 矩阵理论 应用

众所周知，形象思维和抽象思维在数学教学中都占据了举足轻重的地位。在线性代数教学中，大部分的概念都是比较抽象的，学生难以理解和掌握，更不要提挖掘各知识体系间的内在联系。所以，数学教师在线性代数教学中，需要培养学生的形象思维，帮助学生将抽象的理论知识直观化，加深对理论知识的理解程度，提高教学效果。

一、矩阵理论在向量空间中的应用

在学习向量空间时，向量线性相关性定义和引理比较复杂，学生学习存在较大的难度，数学教师在课堂教学中，首先应该让学生明确向量和向量空间的关系，帮助学生形成系统性的知识网络构架。比如在学习第四章《向量组的秩》时，前3节中涉及向量组的线性相关性以及判别定理等方面的内容，大部分数学教师在课堂教学中都会向学生讲解“将求向量组的秩转化成求矩阵的秩”的方法，但是因为转化过程中需要应用较多的定理和引理，所以大部分学生都不能完全掌握。因此，数学教师在教学过程中，应该将向量组的秩的理论知识进行归纳。例如：

①向量组的秩指的是该向量组极大线性无关组中囊括的向量个数。

②如果向量组的秩与向量组含有的向量个数相等，那么就表示此向量组线性无关；如果向量组的秩小于所含向量的个数，那么就表示此向量组线性相关。

③为了确定向量组是否线性相关，可以用求向量组的秩的方法来鉴别。

据此可以列出相关的矩阵理论：

①矩阵Aa×b可以看作是由a个行向量构成或者由b个列向量构成。

②矩阵的秩=向量组的行秩+向量组的列秩。

③初等变换不会使矩阵的秩发生变化。

所以，数学教师可以借助这些矩阵理论，将向量组的秩与矩阵的秩联系在一起，同时借助知识构架图或者知识构架表对这些理论知识间的关系进行描述，使抽象的知识具体化，帮助学生在较短时间内掌握各知识点。

二、矩阵理论在线性方程组中的应用

在线性代数研究中，线性方程组是其中的一个核心问题，具体内容包括线性方程组解的存在性、解的个数、解的结构问题。在教学过程中，可以用Ay=b的形式来表示线性方程组，即利用矩阵理论可以解决线性方程组中的所有问题。比如，用矩阵的秩来判断线性方程组的解的个数；在探讨线性方程组解的结构时，通过对其增广矩阵进行初等行变换，就能够转变为行最简形矩阵，然后将行最简形矩阵变为线性方程组，就能将其通解求出。总体来说，线性方程组的基本内容并不复杂，其形式有些多变，学生只要能够全面掌握矩阵理论，在学习线性方程组时，数学教师利用矩阵的初等变换和矩阵的秩就能将线性方程组的求解方法归纳出来，同时向学生讲解一些具有代表性的例题，就能加深学生的理解程度。

三、矩阵理论在行列式中的应用

从归纳性定义来看，行列式对学生来说比较陌生；从构造性定义来看，行列式对学生来说比较抽象。数学教师在向学生讲解这一概念时，一般都不能达到理想的效果。而行列式的构造原理又是本章的核心内容，学生只有完全理解行列式的定义，才能学好这一章节的内容。在线性代数中，行列式能够对向量组的线性相关性进行判断，所以数学教师首先应该让学生明确向量组的线性相关性，通过变换矩阵的初等行，逐步将行列式构造性定义导出来，层层递进，让学生逐步加深对基本概念的理解程度。学生掌握基本概念后，数学教师再向学生讲解行列式计算、性质等方面的内容，就能从本质上使矩阵理论和行列式性质达到统一，进一步提升学生的认知水平。

四、矩阵理论在特征值与二次型中的应用

在学习《特征值与二次型》这一章节时，数学教师需要向学生讲解特征值与特征向量、矩阵对角化等相关内容。数学教师首先应该将该章节的重难点挑出来，即矩阵对角化、化二次型为标准形，让学生明确正定二次型即为二次型的特殊情形。在计算特征值和特征向量的时候，需要应用到向量组线性相关性、线性方程组等方面的知识。数学教师需要利用四种特殊矩阵将本章节内容串联起来，这四种类型的矩阵分别为：正交矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵。矩阵相似指的是两个矩阵间的相似关系；矩阵合同代表了两个矩阵间的合同关系。在教学过程中，数学教师首先应该指导学生比较分析这四种类型的矩阵，然后利用矩阵相关理论知识对整章内容进行归纳。

比如，在非线性问题中，二次型是其中最简单的一种应用模型。一个二次型h一一对应对称矩阵C，所以将二次型转化为标准形，即借助矩阵间的合同关系，找出可逆矩阵E，保证对角矩阵D=E1CE，针对任意一个可逆矩阵E，必定存在初等矩阵X1，X2，X3，…，Xn，使得E=X1X2…Xn。由此，就能将二次型问题变化为矩阵合同问题和矩阵的初等变化问题。

五、总结

综上所述，数学教师在线性代数教学中，应该全面渗透矩阵理论，在线性代数课程中始终贯穿矩阵理论，利用矩阵理论归纳、整理教学内容，能够帮助学生加深对教学知识点的理解程度，提高教学的实效性。

【参考文献】

[1]刘向伟.求逆矩阵的方法探索[J].电子制作，2012（09）：138-139.

[2]张姗梅，刘耀军.线性变换及其矩阵表示[J].山西大同大学学报（自然科学版），2011，27（05）：1-4.

[3]程明.矩阵多项式Bezout矩阵和Toeplitz-Bezout矩阵若干性质的研究[D].合肥：安徽大学，2011.

[4]孙彬.关于张量积Bezou矩阵若干问题的研究[D].合肥：安徽大学，2011.