变式训练在高中数学解题教学中的应用

王志华

摘要：数学是极具逻辑性的学科，逻辑性思维是数学解题的关键，教师要注重在数学解题教学中运用“一题多变”、“一题多用”、“多题归一”的方法，引导学生思考数学题目的“核心”，从题目中“提炼”反映数学的本质。

关键词：变式训练 高中数学 解题教学

在数学教学中发现，学生平时作业、练习中会出现各种各样的错误，教师运用何种训练方式帮助学生纠正错误至关重要。在数学解题教学中运用变式训练，针对不同错误采用不同的训练方法，能够使学生触类旁通，在减轻训练压力的情况下有效地提高教学质量。

下面结合自己的教学实践谈点体会。

一、变式训练的含义

数学解题按照类型主要可以分为解探究题、解变式题、解标准题三大类。如果将数学标准题看作是数学知识中最基础的表现形式，变式题就是介于标准题和探究题之间的数学题目，是对数学基础知识向探究活动逐渐过渡的数学题目。变式训练的核心就是将数学公式、定理等进行改变，合理构造的一系列变式，展示数学知识产生及发展的过程，突破原有数学解题思维的障碍，形成新的数学思维训练模式。

二、变式训练在高中数学解题教学中的应用

1。一题多变，提高学生的思维深度

一题多变，指的是以一道数学母题演变出许多道子题目。在数学解题教学中，教师根据学生的认知程度将一道经典易错的数学题目改变其条件或结论，演变成具有不同解题思路和方法的数学题，锻炼学生从不同的角度理解题目，通过对改变的数学题目的联系，提高学生的思维深度。因此，在数学解题教学中，教师要打破学生传统的学习模式和学习思维，不能单纯地为解题而解题，而是要在同类型题目中找到本质规律，以不变应万变。

例1 已知圆O的方程为：x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程。

变式1：已知M（x0 ，y0）在圆O：x2+y2=r2的内部（异于圆心O），则直线x0x+y0y=r2与圆O的交点个数是多少？

变式2：已知M（x0 ，y0）在圆O：x2+y2=r2的外部，你能否探索出直线x0x+y0y=r2的几何意义？

变式3：已知M（x0 ，y0）在圆O：x2+y2=r2的内部（异于圆心O），求证：过M点的弦（除直径外）的两个端点在圆上两切线的交点轨迹为直线x0x+y0y=r2。（本题难度深入，适用于课堂或课下探究性问题）

该例题旨在通过研究直线与圆的位置关系，让学生学会解决求过已知圆上一点的切线问题。教师巧妙设计题组，通过变式，根据学生的接受情况，总结出不同题目的相同规律，提高学生的解题技巧，深化学生对教学内容的理解。

2。一题多解，扩展学生的思考范围

变式训练的另一种方法就是一题多解。一题多解能够充分激发学生的数学思维，在解题中注重各项条件的联系和运用，避免因思维受限而造成解题过程中拘泥于某一种方法上，造成解题思路狭窄。一题多解的变式训练方法，能够开发学生的创造力，改变原有数学解题的思维定式，培养学生思维的灵活定和发散性。

例2 如果sin2x+cosx+a=0有实根，试分析a的取值范围。

解法1：将已知式子变形为：a=cos2x-cosx-1，设a为x的函数，根据题干可知：cosx∈[-1，1]，a=（cosx-12）2-54，当cosx=12时有最小值，此时a=-54；当cosx=-1时有最大值，此时a=94-54=1，因此函数值域为a∈[-54，1]。反之，当a在[-54，1]之间取值时，cosx一定在[-1，1]之间取值，与x有实数解相对应。

解法2：令cosx=t，原方程化为：1-t2+t+a=0，则得到函数f（t）=-（t2-t+14）+54+a，则方程有[-1，1]中的实数解表明二次函数f（t）的图象抛物线在[-1，1]中与t轴有交点。将数转化为形，运用图形解题，当抛物线与t轴在[-1，1]区间内有一交点，当且仅当f（-1）f（1）≤0时，也就是（1-a）（-1-a）≤0，以此得出-1≤a≤1；当抛物线与t轴在[-1，1]区间内存在两个交点，且a∈[-1，1]U[-54，1]=[-54，-1]时，y=f（t）与t轴在[-1，1]内存在交点，原方程存在实数解。

3。多题归一，培养学生的思维能力

多题归一与一题多变、一题多解的训练模式是一致的，是数学变式训练中的重要方法之一，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在变化的数学题目中探索出本质规律，在以后的解题中能够通过题干看出解题的关键。

纵观高中数学试题，我们可以看出数学试题不论怎么变，考查的都是数学基本理论概念知识以及数学通法，只是在原有数学规律和常规解题模式上进行变换。例如，可以利用直线方程带入圆锥曲线方程的方法，设计成考查一元二次方程知识的数学试题，还能够利用方程根与系数的关系再进行改变成为新的数学试题，但是实质上都是考查学生对解析几何基本方法的掌握，这就是数学试题“多题归一”的具体表现。

例3 求和：x+2x2+…+nxn，（x≠0）

例4 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和Sn。

解析：在这两道试题的解题思路中，都运用“错位相减法”：若数列{Cn}满足Cn=an·bn，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列（公比≠1），则数列{Cn}（等比数列）的前n项和可以使用“错位相减法”求得。

利用“多题归一”、“多题一解”，让学生在熟悉等比数列求和公式的基础上，拓展“错位相减法”这一解题方法，让学生在学习实践中对已有的数学思想方法进行归纳总结，再利用变式题进行进一步的扩展和深化，从而自然和谐地形成一定的解题思路和技巧。

高中数学试题中通法通性的表现形式多种多样。例如，运用配方、作图、分类讨论等方法在二次函数闭区间上求值，这就表示高中数学试题的解决需要运用“多题归一”的训练方法，对具有普遍规律的数学试题进行归纳总结，在总结过程中发现数学解题的基本思路与技巧。

总之，变式训练是以万变不离其宗为原则，在不同的数学题目中对数学公式、原理、定理、概念等从不同角度和深度进行改变，使其内容发生变化并得出不同的结论。变式训练在高中数学解题教学中具有举足轻重的作用，教师在变式训练教学中要引导学生抓住数学题目的本质，根据学生的认知规律开展教学，切忌盲目地开展变式教学。

参考文献

李健。 “一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践[D]。苏州大学，2012。