函数与方程的思想方法在解题中的应用

周金华

【摘要】 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。笔者在本文中就函数与方程的思想方法在解题中的应用展开了一些论述。

【关键词】 函数 方程 思想方法 解题 应用

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）03-079-01

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数f（x）=（a+bx）n（n∈N*）与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

经典例题：

一、函数思想

1. 构造函数，运用函数的性质

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3.选取变元，确定函数关系（例略）

4. 用函数的思想方法解数列题（例略）

二、方程的思想

方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。

1. 解方程或分析方程的解

例5.已知实数a，b，c成等差数列，a+1，b+1，c+4成等比数列，且a+b+c=15，求a，b，c.

分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

由1、2两式，解得b=5，将c=10-a带入③式，整理得a2-13a+22=0，解得a=2或a=11.

故a=2，b=5，c=8或a=11，b=5，c=-11.经验算，上述两组数符合题意。

点评：本题的列方程组和求解的过程，体现出的就是方程的思想。

2. 通过换元构成新的方程（例略）

三、函数与方程相互转化的思想

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据实际情况把握两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。