数学概念教学的意义、问题、方法及建构策略

赵绪昌

摘要数学概念是反映数学对象的本质属性的思维形式.数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程.当前数学概念教学在一定程度上出现了偏差.我们主要通过概念的形成和概念的同化的方式获得概念.常常采用建模建构、实验建构、演绎建构、类比建构、反思建构等策略进行概念教学.

关键词数学概念；教学意义；教学问题；教学方法；建构策略；案例分析

1数学概念教学的意义

哲学上把概念理解为，人脑对事物本质特征的反映.概念是思维的基本单位，是形成判断和推理的基础.数学概念是反映数学对象的本质属性的思维形式，是数学知识体系（定理、法则等）的基石、数学思想方法的载体，也是数学研究的起点，判断、推理、计算、证明和解决问题的依据.

数学概念教学是数学教学的重中之重.有效的数学概念教学，绝不能以让学生学会概念为终极目标，同时要让学生在参与概念的形成、发展、巩固、应用和拓展的过程中，把握概念的本质特征，体会隐含在概念中的思想方法，从而完善自身的认知结构，在知识、能力、素养方面获得全面的发展.

2数学概念教学的问题

数学教材中大多采用“定义——性质——定理——应用”的演绎体系呈现概念，希望学生学习数学概念后再解决问题，并通过解决问题进一步理解和掌握概念.这样的演绎体系虽然有利于学生知识系统的形成，但是把有意义的、鲜活的生成数学概念的活动给掩盖了，使学生不知道一些定义从何而来、为何如此规定——荷兰数学教育家弗赖登塔尔称其为“教学法的颠倒”.

由于多种因素，当前很多教师主要采用如下方式进行数学概念教学：（1）“一个定义、几项注意、一步到位、举例训练、反复练习、迎接考试”的急功近利式；（2）“掐头、去尾、烧中段”的直接授予式；（3）“照本宣科+解题教学”的大容量训练式.这些方式的共同特征是，重解题技巧、轻概念生成，追求习题讲解的最大化和概念教学的最小化.这样的教学会导致学生认为概念学习单调乏味而不重视它，只会死记硬背概念本身，不能理解概念的形成过程.认识不到概念引出的必要性和概念应用的价值，难以把握概念的本质；导致学生在知识掌握一知半解的情况下匆忙解题，只会机械地模仿某些特定的题型，掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情况就束手无策.以解题教学代替概念教学的做法，还会导致学生耗费大量的时间、精力在知识的外围重复训练，结果还是对教学的内容、方法和意义知之甚少，知其然而不知其所以然，使得教学效果事倍功半，知识、能力、素养发展终将落空.

3数学概念教学的方法

由心理学研究和教学经验可知，我们主要通过两种方式获得概念：概念形成和概念同化.前者主要指依靠对个别、具体事物、例子的概括、抽象来获得概念；后者主要指利用认知结构中相关的旧概念来理解新概念.前者的主要的操作步骤为：（1）辨别一类事物的不同例子；（2）概括、抽象出各个例子的本质（共同）属性；（3）把本质属性与原有认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已有的有关概念区别开来；（4）把本质属性推广到一切同类事物中去，以表明新概念的外延；（5）扩大或改组原有认知结构.后者的主要的操作步骤为：（1）揭示出概念的关键属性，给出其定义、名称和符号；（2）讨论概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征；（3）把本质属性与原有认知结构中适当的知识联系起来，使新概念纳入到已有的概念体系中；（4）辨认肯定例证与否定例证，使新概念与已有认知结构中的有关概念产生分化；（5）使有关的概念融会贯通，组成一个新的整体.

通过概念形成方式学习数学概念，便容易接受概念，理解概念的关键属性，把握抽象概念背后的丰富意藴，但有时不容易建立概念体系，不符合学习的经济原则——主要体现从特殊到一般、由表及里的认知规律.通过概念同化方式学习数学概念，则正好相反——主要体现从一般到特殊、由此及彼的认知规律.

因此，在数学概念学习中，两种方式不能孤立使用，而要结合起来.教师可以在揭示出概念的定义后引导学生去观察实例，定义的导向可以使学生比较容易地揭示实例中包含的概念的关键属性，而正例与反例的应用可以使学生在分析、比较、分类、概括中将概念的关键属性清晰化；然后引导学生以实例为概念的认识载体，将新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系，形成概念体系.

4数学概念教学的策略

4.1建模建构策略

数学建模是指为了某种目的，将现实原型简化、抽象为数学结构.它是一种非常重要的数学思想方法，是运用数学知识解决现实问题的基础，是数学反映客观事物的途径，也体现了数学与自然科学的联系与区别.理解数学建模，对于领会数学内容、掌握数学方法具有重要意义，因而也对提高数学学习兴趣、提高数学教学效率具有重要的意义.

很多数学概念的形成过程都有力地体现了建模思想的价值.利用建模思想，让学生历经、体验“从现实事物，到事物的本质（数和量）特征，再到数学概念的定义和名称”的创造过程，从而在理解简化、抽象方法的同时，领会数学概念的内涵、外延和意义，是数学概念教学最基本策略之一.这一策略最大的特点是，将对概念的理解建立在对概念建构过程的体验，而非对概念定义的反复辨析上，即将注意力集中在对概念作用和意义的理解，而非对概念字面的反复纠缠上.这样，不仅能使学生认识概念是怎样的，而且能使学生认识概念为什么是这样的，因此是学生通过对形成过程的体验到对概念本质的认识的必由之路.

比如，在数学教学中，可以从物体具有大小（占有一定空间）出发，引导学生通过建模思想建立长度、面积、体积、测度等概念；从物质世界具有正、反两个方面出发，引导学生通过建模思想建立正负两个概念；从自然界具有等量关系出发，引导学生通过建模思想建立方程的概念；等等.

4.2实验建构策略

数学实验能改变学生的数学观念和数学学习方式，在数学教学中是不可或缺的.利用实物（如教具、学具）或模拟（如几何画板）的实验，让学生在观察、操作、探索、发现、归纳、概括等活动中领悟数学概念的形成，也是概念教学最基本策略之一.在数学概念教学中，教师应为学生创设一种活动情境，让学生动手“做数学”，完成“接触概念、体验概念、使用概念、建构和完善概念、掌握概念的内涵和外延”的过程.

案例1“无理数概念”的教学.

首先，让学生利用一把剪刀、两张同样大小的正方形纸片（边长视为1）剪拼出面积为2的正方形.通过动手操作，学生不难完成多种拼图；通过班级交流，学生不难选出比较简便和美观的拼图，如图1所示.由此，教师提问：观察拼图，拼得的正方形的边长是多少？根据算术平方根的概念，学生能得出正方形的边长是2.教师追问：估计2的值在哪两个整数之间？利用取平方的方法，学生也不难得出2的值在1和2之间.

然后，教师提问：2能用分数表示吗？激发学生的认知冲突后，教师引导学生利用计算器探求2的小数部分：（1）试输入一个大于1、小于2的数，如果平方的结果比2大，如何调整？比2小呢？（2）通过实验，猜想能否找到一个有限小数，使它的平方等于2？由此，引导学生体验2=14142…，是一个无限不循环小数.从而，引出无理数的概念.

实践表明，通过变换角度的操作和观察，学生能切身感受有理数外还有一类数，抓住无理数的本质特征，加深对无理数概念的理解；经过对概念的形成过程以及问题发现、解决过程的猜想、验证等实验探究，学生拓宽了思维视角，增强了合作意识，同时获得了成功的体验.对很多数学概念都可以这样教学，如空间直线、平面的位置关系，椭圆，向量坐标运算，概率等.

4.3演绎建构策略

数学知识是以概念为基础的强大演绎体系，很多数学概念之间都有着密切的逻辑相关关系（联系）.这些相关关系是界定概念同化最有效的联系，为学生深入理解概念、牢固建立知识结构指明了方向.所以，对于那些与学生原有认知结构中的概念有逻辑关联的概念，我们可以通过逻辑演绎过程，帮助学生同化概念.

比如，教学“三角函数概念”时，很多学生甚至教师只注意到三角函数概念出现在三角比概念后面，从而认为三角函数概念是单纯的三角知识，对于三角函数的图像和性质也往往就事论事，其教学效果可想而知.其实，我们应该意识到三角函数是一类特殊的函数，引导学生利用函数的概念和思路加深对三角函数的认识和理解，认识到三角函数概念不是孤立的三角知识，而是函数知识体系中一个特殊的节点，只不过多了几个特殊性质而已，从而使教学自然、高效.

4.4类比建构策略

数学知识也是以概念为基础的广泛类比系统，很多数学概念之间都有着丰富的直觉相似关系（联系）.这些相似关系也是界定概念同化有效的联系，使学生理解概念、建立知识结构有了认知基础.所以，对于那些与学生原有认知结构中的概念有直觉关联的概念，我们可以先引导学生回顾已有概念的属性，再创设联系已有相似概念的情境，引导学生利用直觉类比方法获得发现，并尝试给出新概念的定义.

案例2“三角形概念”的教学.

师：刚才请同学们用数学的眼光欣赏了美丽的图片.那么，请问这些美丽的图片中都含有哪种平面几何图形？

生（众）：三角形.

师：对！（课件出示图2）小学时我们已经学过三角

形的一些知识，从今天开始将进一步学习有关三角形

的知识.谁来说说什么样的图形叫做三角形呢？

生：由三条线段组成的图形叫做三角形.

师：有不同的观点吗？

生：我不同意他的观点.（投影出示图3、图4）请大家看我画的由三条线段组成的图形，它们不是三角形.故应改为，由三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.图3图4

师：这下，大家没异议了吧！

生：不行！必须添上条件“不在同一条

直线上”，否则，组成的图形可能是线段.

（投影出示图5）请看.故应改为，由不在

同一条直线上的三条线段首尾顺次连接组成

的图形叫三角形.

师：真聪明！这样就准确了.我们知道图形的角用符号“∠”表示，垂直用符号“⊥”表示，那么，三角形应该用什么符号表示呢？

生众：用小的三角形图形.

师：你们是怎么想到的？

生众：受角、垂直的符号表示法的启发呀！

师：这种考虑问题的方法就叫作类比.类比是关注两个对象在某些方面的相同或相似，从而推测它们在其他方面可能存在的相同或相似.它是非常有创造力的一种思维方法.的确，数学家们用小的三角形图形“△”表示三角形.这一符号形象、直观，便于记忆.（指着图2）我们还知道这个三角形中的三条线段可分别记作线段AB、BC、CA，三个角可分别记作

∠ABC、∠BAC、∠ACB，那么，那么，这个三角形又该如何用符号表示呢？

生：记作△ABC.

师：能否记作△BCA或△CAB呢？

生：不能.因为∠ABC、∠BAC表示不同的角，类比角的表示法，所以△ABC、△BCA应表示不同的三角形，所以△ABC不能记作△BCA.

生：我认为可以.因为在三角形中点A、B、C呈“三国鼎立，势均力敌”之势，所以“排名不分先后”（有学生笑）.而在角中点A、B、C的地位是不同的，故不能盲目类比.

师：说得太棒了！从中我们得到启发，有时由类比得到的结论不一定可靠，需要仔细斟酌.我们知道符号“∠ABC”读作“角ABC”，那么符号“△ABC”又如何读呢？

生众：读作“三角形ABC”.

这里，通过引导学生研究已有三角形概念的本质特点，产生新概念的“生长点”，以类比方法获得三角形的概念，使学生觉得这一概念是小学三角形概念的一种自然发展.对很多数学概念都可以这样教学，如分式（与分数类比）、不等式（与方程类比）、空间（与平面类比）、无限（与有限类比）等.

4.5反思建构策略

指导学生反思概念形成的过程，是帮助学生深刻理解概念本质特征的重要环节，也有利于提升学生从自身经历中学习、提炼的意识和能力.进行课堂总结时，很多教师通常会提出“通过本节课的学习，你学到了什么”“有哪些认识和体会”“还有什么疑问”等问题，引导学生根据板书，作出简明扼要的语言回答.但是，这样的问题过于笼统，这样的回答过于表面.实际上，学生是学习的主体.反思概念形成的过程同样需要学生具体、深入的实践、练习，才能有效促进数学经验的积累和数学思想的形成.

案例3“反比例函数概念”的教学.

（在课堂总结阶段，教师提出问题：你是如何认识反比例函数的？引导学生交流学习反比例函数概念的经验.）

师：反比例函数与正比例函数有何异同？

生：反比例函数和正比例函数一样，它们都是用一般式来定义的.

生：反比例函数和正比例函数的一般式中，都只有一个自变量，都只有一个不为零的常数.

生：两种函数的解析式的形式不同，正比例函数的解析式是整式，而反比例函数的解析式是分式.

生：两种函数的自变量的取值范围不同，正比例函数的自变量可取一切实数，而反比例函数的自变量不能等于0.

师：由此你能猜想一下两种函数图像的不同点吗？（出示图6）下列哪幅图可能是反比例函数y=12x的图像？为什么？

生：反比例函数的自变量不能等于0，当然函数值也就不能等于0，所以它的图像上点的横坐标和纵坐标都不能等于0，也就是它的图像不能与坐标轴相交，所以排除A和D，选择B或C.

师：很好！你的分析体现了数向形的转化.那么，到底选项B，还是选项C呢？为什么？

生：选C.因为满足y=12x的x、y的值是同正或同负，B中图像在第二象限时x的值为负，y的值为正，所以排除B.

生：（投影展示图像）我通过列表、描点、连线，画出了y=12x的图像.虽然没有C中的图像那么美观，但是变化范围和趋势是一样的.

师：通过本节课，你积累了哪些学习函数概念的方法？如果让你去自学二次函数，你有什么想法？

生：也是从实例、概念、图像、性质、应用这几个方面去研究……

在反思学习过程的基础上，对比猜想反比例函数的图像，类比猜想二次函数的研究方法，能够促使学生由已知内容很自然地迁移到未知内容，有利于产生进一步的认识或疑问，以作为新的教学起点，从而自然延伸概念学习，不断完善认知结构.

最后，不难发现上述策略不是孤立的，而是相互联系的，有时需要综合运用；而且对概念以外的数学知识的教学往往也是适用的.