《直线的倾斜角与斜率练习课》教学实录及其点评

张勇　江润川

【教学内容】

人教版高中数学必修二第三章《直线与方程》的练习内容。

【教学过程】

一、知识整理

1. 直线倾斜角的取值范围

师：同学们，前面我们已经学了直线的倾斜角和斜率的知识，现在我们回顾“所有的直线都有倾斜角吗？”“它的取值在什么范围？”

（教师用投影机将题目投影出来，学生用1分钟的时间在练习，然后教师提问。）

生1：所有的直线都有倾斜角，而且它的取值范围是[0°，180°）。

【点评】教师通过回顾旧知识，让学生重新回忆直线的倾斜角和范围的知识。

2. 直线的斜率与倾斜角的关系

师：答得好。那是否所有的直线都有斜率吗？（让学生思考2分钟，然后教师提问）

生2：不是。

师：怎样的直线没有斜率？（倾斜角满足什么条件的时候，直线没有斜率？）

生2：直线的倾斜角为90°时，它的斜率不存在。

师：在斜率存在的情况下，直线的斜率k与倾斜角α有什么关系？

生2：k=tan α

师：上面的是通过直线的倾斜角求直线的斜率，还有其他方法求直线的斜率吗？

生3：已知直线上的任意两点可以求斜率。

师：若直线l上的两个点A（x1，y1）、B（x2，y2），它的斜率k怎么求？

生3：k=。

师：以上求斜率的两种方法要满足什么条件？

生3：两种方法都要斜率存在，也就是第一种要倾斜角α≠90°；第二种要x1≠x2。

【点评】通过教师的引导启发，让学生回顾直线的倾斜角的取值范围及斜率的两种计算方法和每种方法所需要满足的条件。

二、基本练习

师：用上面的知识进行练习（用投影将下面的习题投影出来，让学生去解答）

（学生练习10分钟）

1. 判断题

（1）直线x=1没有倾斜角。（ ）

（2）若θ是直线l的倾斜角，则θ∈[0°，180°]。 （ ）

2. 选择题

已知直线经过点A（1，4）和B（1，2），则直线AB的倾斜角（ ）

A. 0 ° B. 30° C. 60° D. 90°

3. 填空题

已知直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 。

4. 解答题

已知直线l经过点A（2，3）、B（t，-1）且倾斜角为45°，求k的值。

（学生完成练习后，教师投影答案，经过学生练习后，学生总体上掌握得比较好，只是选择题相对比较难，由于学生缺乏数形结合的数学思想，但经过教师的点拨后问题解决了。）

【点评】教师让学生在具体的练习过程中体现知识的运用，同时通过练习检测学生的课堂学习效率。

三、专题练习

师：同学们，以上的基础题完成得很好，下面我们就进行有关的专题练习，看看怎样？（用投影将下面的专题习题投影出来，让学生思考并解答，最后教师提问。）

例：若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是（ ）

A. [0°，90°] B. [90°，180°]

C. [90°，180°] D. [0°，180°]

学生思考5分钟后，教师提问：这题如何解决？

生4：本题不知道直线的斜率，也不知道直线上的两点的坐标，觉得很难求直线l的倾斜角范围。

师：上面基本练习的选择题，我们用了什么数学思想？

生4：数形结合的数学思想。

师：按照题目的条件画出直线，能否看出这条直线的倾斜角是什么角？

生4：我画出的直线的倾斜角是钝角。

师：钝角的范围是什么？本题的答案是什么？

生4：故本题选 C。

变式训练：求过点A（0，2）和点B（-2，a2）（a∈R）的直线的斜率的取值范围。

【点评】学生通过画出点B（-2，a2）所在的射线线x=-2且y≥0，然后用射线的点和点A连接，主要看所成的角的大小变化，而决定斜率的变化，这样问题就会得到解决了。通过实践，学生深深体会到数形结合的数学思想对于解答数学问题，有时候比较简单。

四、综合练习

师：同学们，前面我们已经练习了一些基本的和有关专题的练习，下面我们进行一些综合性的练习，不知大家对知识掌握得怎样？能从中找出一般的解题规律？（用投影将下面的习题投影出来，让学生去解答，学生练习15分钟）

例1：直线l过点（k+1，2）和（k+2，tanα），则（ ）

A. 一定不是直线 的倾斜角

B. 一定是直线 的倾斜角

C. 一定不是直线 的倾斜角

D. 直线l的倾斜角是180 °±α

例2：已知三点的坐标分别是A（3，-1）、B（5，1）、C（2，t），若A、B、C三点共线，求t的值。

（先个人做，后小组讨论）

例3：已知点M（1，1）、N（2，-1），问x轴上是否存在点P，使得∠MPN=90°？

（学生练习后，第1、2题还是做得不错，但是第3题觉得难以入手，教师启发解题）

师：同学们，当∠MPN=90°时，你们按照题目要求画图后，会发现直线MP和直线NP的倾斜角有什么关系？

生5：两条直线的倾斜角之差的绝对值是90°。

师：那么直线的斜率有什么关系？

生5：根据类比可知，斜率之积为 （在斜率存在且不为0时），通过这样的关系，可求得点P的横坐标，从而求得P点的坐标。

师：学生的解题规律是怎样？

生5：一般情况下，我们计算直线的斜率都通过直线的两个点或者是直线的倾斜角都可以，但是有部分的题目我们通过数形结合的思想相对比较简单。

【点评】通过训练后，让学生体会知识的灵活性和迁移性。

五、延伸练习

师：现在我们对知识掌握得比较好，把一些的高考试题或者难度比较大的题作为我们挑战的试刀石，如何？

（教师把题目投影出来，让学生思考后小组讨论，教师再进行提问，最后是学生写作答过程）

例1：已知点A（2，3），B（-5，2），若直线l过点P（-1，6），且与线段AB相交，求该直线l倾斜角的取值范围。

例2：若有关于x的方程|x-2|-kx=0只有一个负的实数根，求实数k的取值范围。

学生通过练习后，第1题，没问题，而第2题学生觉得无从下手，这时教师提点：

师：通过这个方程，我们通过移项得到|x-2|=kx，求方程的根，也就是要求我们求哪两个函数的交点？

生6：那两个函数分别是f（x）=|x-2|和g（x） =kx。

师：你们能画出它们的图象吗？有一个负数根，也就是两个函数的图象的交点要落在第几象限？同时k要满足什么条件？

这时学生通过画出图象，可以看出k只有满足-1

生6：对于一些比较难的方程，我们通过变形，变成是两个函数的图像间的关系，也就是透过图象去找出解题的相应规律。

【点评】教师通过引导学生构造两个函数，再利用动直线的倾斜角控制动直线与定直线指定的象限有交点，从而达到求出动直线的斜率的取值范围的目的。

【总评】教师通过这节课，简单回顾和直线倾斜角与斜率求法。然后又通过基本练习和专题练习，将学生的基础打扎实以及培养学生一定的解题的能力。再通过综合练习，让学生有综合解决综合性问题的能力，最后在延伸练习中，用部分相应的高考试题作为学生解题能力的“试刀石”，检验学生是否具备这种综合性运用和解决有关高考试题的能力。而整个过程中，几乎都是灌输着数形结合的数学解题的思想。

在这个过程中，学生不但深深体会到数形结合的解题思想的优异性，也印证了学生通过这种模式的练习课，对知识掌握得还是比较好，学习效率也提高了。与此同时验证了练习课的“五环节”的教学模式（知识整理——基本练习——专题练习——综合练习——延伸练习）的教学效率是非常高，是值得我们同行的教学工作者借鉴的。

（作者单位：张 勇 广东省广州市增城区新塘中学；江润川 广东省广州市花都区花东中学）