数学问题中的思维能力培养

湖北省武汉市新洲区潘塘中学 陶兴和

数学问题中的思维能力培养

湖北省武汉市新洲区潘塘中学 陶兴和

数学问题解决是指面临一个具有新意的数学问题，企图寻找有关概念、规律、方法等去解决这问题，从而达到目标的一种心理活动。数学问题的解决是一种创造性的脑力活动，需要各种心理活动的参与，但其中最重要的是思维。在数学教学中，通过对数学问题的解决可以达到使学生主动地从事实践，观察、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维；学会学习，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。本文介绍在数学问题解决中，如何培养学生的思维能力。

一、遵循解决数学问题的思维过程

思维在问题解决过程中起着关键的作用，只有遵循解决数学问题的一般思维过程，并能在每个阶段灵活有效地进行思维，才能顺利解决数学问题，发展思维能力。关于问题解决的过程，按现代教学论和心理学认为，数学问题解决是在数学思维与方法指导下，有目的地运用数学基础知识和基本技能分析与解决数学问题的过程。在总结国内外研究的基础上，针对数学学科的特点和中学生的年龄特征，提出了审题、转换、实施、检验、反思五阶段构想。

1.审题

审题就是理解题意，我们所面临的数学问题本身就是“怎样解这道题”的信息源，只不过题目中的积极暗示往往通过语言文字、公式符号以及它们之间的关系间接地告诉了我们。因此，开始研究题意时，应逐字逐句地思考问题叙述中每一个词（每一个符号、术语）的意义，仔细做出直观的图形、表格或式子，使之直观化、具体化，清晰地罗列出问题中的各个元素，弄清楚其中哪些元素是给定的已知条件，哪些是所求的未知结论，条件与结论间和哪些知识有关。尽力找出题中的重要元素，在图上用直观的符号标出已知元素和未知元素，做到了以上各项，就意味着你对整个问题的情景有了清晰的、明确的和具体的印象和理解。如果在此基础上，我们可以确定解题的策略，那么只需将此决策付诸实施。如若不行，则需要尝试着进一步全面、深刻地理解题意，比如在所作图形、表格或式子中试着去改变题目中各元素的位置，并就此考虑能否对问题的叙述做不同的理解，由此再看题中的条件是否多余、互相矛盾，是否还缺少什么条件，这样做有可能发现题目中很重要的内容。

2.转换

转换就是在审题的基础上，思索已知与未知之间的转化，这就需要善于运用联想、类比、模拟和归纳分析综合手段，把问题转化为较熟悉的或简单的问题，从而确定解题的策略。一般地说，在对问题有了完整的印象和理解的基础上，我们可以从已知条件或未知结论的任何一方入手，架起沟通已知与未知之间联系的桥梁，从而使问题得到解决。如果由未知的结论，容易想到某一个具有相同或相似结论，且早已解决的熟悉问题，就从结论入手，执果索因，找到通向己知条件的大道。如果从已知条件中可以推导出一些有用的东西，从中可以发现最接近结论的熟悉的解题方法，就直接从条件入手，将这些条件分解成一连串的子问题，依次解决这些子问题就可以构成原问题的解。如果上述办法行不通，就从整体上考虑问题。如果能与一个类似的有关的熟悉问题联系起来，就可以构造并解决类似的问题，从中找到解决原题的途径，如若不然，可以适当地简化问题的条件，考虑问题的特殊情形。通过特殊化问题的解决猜想出一般化问题的结论，再加以证明，从而使问题得到解决。或者将题目的条件或结论扩大到更容易入手的一般性问题，通过解的问题，从中找到解决原题的途径。如若不然，可以适当地简化问题的条件，考虑问题的特殊情形，通过特殊化问题的解决猜想出一般化问题的结论，再加以证明，从而使问题得到解决；或者将题目的条件或结论扩大到更容易入手的一般性问题，通过解决一般化问题的方法、技巧或结果，顺利地解出原题。如果原问题实在难解，设法同时改变条件和结论，或者将条件与结论换个说法。

3.实施

实施是在找到解题方法以后把它付诸实施，也就是展开解题思路、构思解题步骤，实施具体的运算、推理的过程，是解决数学问题的中心环节，是训练有条理地思考问题、表达想法的有效途径。解题过程要规范，要做到正确、合理、完满、清楚及简捷。

4.检验

检验就是对整个解题过程加以检査验证。可采用“以粗为主、粗细结合”的方法来检验。“粗”指的是检查题意是否误解，已知数据、图形是否出错，条件是否全部用上，是否符合解题要求，解题过程是否合理，步骤是否完整，结果是否科学，即从整体上粗略检查题解。“细”指的是检查解题过程中的每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否准确无误，所用到的数学知识是否准确。此外，还可以根据题目自身的特点，变换角度检验，如用图形检验、选点检验、取特殊值或特例检验、对比检验等。即通过不同的途径、方法来核对结论的正确性，培养学生的辩证思维能力。

5.反思

反思就是对已完成的解题过程进行反思，是提高分析问题和解决问题的重要途径，也是提高学生思维能力的有效手段。反思包括对解题过程一步步地进行检查验算，回顾解题策略，分析能否从不同角度、不向思路去解题。这样，可以有效地训练学生思维的深刻性、灵活性、批判性和独创性，培养学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力。

中学生解决数学问题的思维过程中的四个阶段不是孤立的，而是相互联系、相互作用、相互影响的，且每个阶段都是在与主体的认知结构的相互作用中进行的。在数学问题解决过程中，要让学生掌握思维的常规，并灵活、有效地进行思维，提高他们的思维能力、分析问题和解决问题的能力。

二、训练解决数学问题的思维策略

数学的解题思维策略，从哲学的观点来说是指主体在解答数学题时，宏观上采取的方针、原则；从心理学观点来说是指选择、组合、改变或操作背景命题的一系列规则，以便填补问题的固有空隙；用方法论观点来说，解题策略是最高层次的解题方法，是解题中带有普遍意义的思想方法；从本质上来说，解题的策略是变换的，是未知向已知的转换。下面介绍七种常用的思维策略。

1.化归原则

化归原则是指把一个我们面临的新的陌生问题，通过恰当变换转化为我们已经解决的熟悉问题。化归原则是对解题有指导意义的重要原则，它在解题过程中有着广泛的应用，比如把实际问题转化为数学问题，未知转化为已知，立体几何题转化为平面几何题，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算，等等。化归原则是解题的一个基本策略，数学中常用的消元法、换元法、参数法、构造法等解题方法，实质上都是这一策略的具体应用。

2.简单原则

简单原则是指设法将复杂繁难的问题转化为结构简单、易于解答的问题，本质上体现了解题中“进”与“退”的辩证思想。当“进”有困难时，不妨退下来，退到使我们能认识问题的地方先彻底搞清楚了，然后再前进。应用简单原则多可将结构复杂的综合题分解成若干个相依的简单子问题，依次解决这些子问题（可得原问题的解，简单原则是化归原则的补充和发挥）。在解题过程中这两种策略常常结合在一起进行，而仅是着眼点不同。

3.直观原则

直观原则是指将一个形式或内容比较抽象的数学问题，通过恰当联想和猜想，转化为相应的形象直观、生动具体的问题，借助事物的形象直观来揭示问题的本质属性，找到原问题的解题思路。运用直观原则解题，最关键的是要对题设条件做深入的分析，洞察其中的几何特征，由此构造出相应的图形，运用图形直观求得原问题的解。

4.化同原则

化同原则是将我们面临的数学问题中条件与结论的差异矛盾，通过变换使两者逐渐靠拢，清除差异，化异为同，使两者达到矛盾的统一。应用化同原则的关键是要找到条件与结论的结合点，从而确定了同化的方向，最终实现矛盾的统一。

5.有序原则

有序原则是指当我们所面临的数学问题中含有多个元素时，可以把它们按一定的顺序排列，再依次进行变换，从中发现解题的规律，使问题得到解决。应用有序原则的解题策略，关键是将元素按一定规则依次排列，循序渐进地解决问题。

6.整体原则

整体原则是指当我们面临的是一个从局部特征入手难以奏效或推理冗繁的问题时，要适时调整视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体结构分析和改造，揭示整体与局部的内在联系，找到解决问题的途径和方法。运用整体原则这一解题策略，把微观上的局部分析与宏观上的整体控制辩证地统一起来，有助于拓宽视野，冲破局部细节的束缚，看清问题本质，获取简捷、巧妙的解法。

7.逆反原则

逆反原则是指用一分为二的观点看待我们所面临的问题，如果从问题的一个方面来思考而难以成功时，就从与之对立的另一方面来考虑问题，最终达到解决问题的目的，应用逆反原则的解题策略，常常从问题的一般性与特殊性、复杂性与简单性、相等与不等、已知与未知、直接与间接等对立的两个方面来思考问题，寻求解题的途径。

不难看出，以上各种策略，在解决问题时，是相互渗透、相互联系、相互补充的。为了更好地发挥策略的指导作用，须要悉心体察各种策略的基本思想与实施途径中所用的数学方法与技巧的有机结合，应用于解题的实践，并在实践中不断总结，提炼新的策略思想，不断构建新的认知结构，不断提高分析问题和解决问题的思维能力。