拟牛顿信赖域法在非线性状态估计中的应用

黄石，冯蒙霜

(1.国网泰州供电公司，江苏 泰州 225300；2.国网苏州供电公司，江苏 苏州 215000)



拟牛顿信赖域法在非线性状态估计中的应用

黄石1，冯蒙霜2

(1.国网泰州供电公司，江苏 泰州 225300；2.国网苏州供电公司，江苏 苏州 215000)

摘要：提出一种基于拟牛顿信赖域法的电力系统非线性状态估计法。用拟牛顿法构造海森矩阵，虽然只利用了目标函数的一阶导数信息和目标函数值信息，但由于保证了正定条件和拟牛顿条件，比解析求得海森矩阵更高效稳定。用信赖域法代替原来的线搜索方法求解下降方向和步长，减少了算法的计算时间。通过对多个节点系统的仿真测试，验证了该算法的有效性。

关键词：电力系统; 状态估计; 非线性; 拟牛顿法; 信赖域法

电力系统状态估计作为能量管理系统(energy management system，EMS)的重要组成部分，在电力系统运行、控制和安全评估等方面发挥了很重要的作用[1-3]。状态估计问题的提出激发了学者们的研究兴趣，并提出了一系列的算法[4-12]，总体分为两大类型：一种是卡尔曼型逐次算法，该类算法优点是使用内存最少，对节点注入型量测具有一定的适应能力，程序简单，缺点是收敛速度慢，计算时间长，估计质量差，这些问题随着电力系统规模增大和节点注入型量测量的增多变得更加严重，故不实用；一种是高斯型最小二乘法的总体算法，该类算法通常将目标函数进行泰勒一阶线性展开，即当成线性模型来处理，忽略模型的非线性程度，最基本解法是加权最小二乘(weighted least squares，WLS)状态估计法。文献[13]采用双一次项展开方法，考虑了泰勒级数的二阶项，提出了一种非线性最小二乘法，并应用到状态估计的求解中，表明了该方法的可行性。文献[14]将阻尼最小二乘法用于状态估计的计算中，表明该方法的计算速度优于WLS，其原理也是考虑了二阶项的计算，故考虑非线性的状态估计算法也是一个值得研究的课题。

对于二阶项的求解，学者们通过研究提出了拟牛顿法[15-16]，其思想是根据一阶导数信息和目标函数值信息近似构造二阶项，避免二阶项的直接计算。但传统的拟牛顿法通常采用线搜索方法求目标函数的下降方向和步长，计算时间随着计算规模的增大相应地延长。信赖域法[17-21]是非线性优化领域重要的研究方向，与线搜索方法相比，信赖域法思路新颖、可靠性高、收敛性强。文献[22-23]分别给出了信赖域法在电力系统无功优化、广域阻尼控制器参数协调等方面的应用实例，应用结果说明该方法的收敛性和稳定性均较好。但信赖域法是局部寻优问题，为了保证算法能有更好的全局收敛性，本文将拟牛顿法与信赖域法结合，使算法有更强的总体收敛性。

本文旨在提出一种基于拟牛顿信赖域法的非线性状态估计法。采用拟牛顿法根据一阶导数信息和目标函数值信息近似构造二阶偏导数项(海森矩阵)，避免海森矩阵的直接计算。采用信赖域法代替原来的线搜索规则求目标函数的下降方向和步长，保证算法的全局收敛性，减少算法的计算时间。算例测试表明本文算法的估计结果可靠，在收敛性能和数值计算稳定性方面优势明显。

1WLS状态估计的数学模型

WLS状态估计的量测方程为：

(1)

状态估计就是求使目标函数J(x)达到最小值时x的值。

(2)

式中w为量测量z的m维权重向量。

(3)

式中：H为量测函数的雅克比矩阵；k为迭代次数；xk为第k次修正后的状态量。

2基于拟牛顿信赖域法的非线性状态估计模型

本节将非线性状态估计的目标函数变为

(4)

将f(x)在K处进行泰勒二阶展开，可得：

(5)

式中：qk(sk)为f(x)的泰勒二阶展开表达式；sk=x-xk；gk为f(xk)的一阶导数矩阵；Gk为f(xk)的二阶导数矩阵。

(6)

式(6)即为非线性状态估计的迭代方程。

本文采用拟牛顿法求得Gk，即给定一个初始矩阵D0(通常取单位阵E)，然后根据一阶导数信息和目标函数值信息不断修正D0，得到跟Gk近似度极高的矩阵，即

(7)

式中Dk为D0第k次修正后得到的矩阵。

式(6)中的gk表示为

(8)

求解Dk的拟牛顿修正公式有很多，最有效的是BFGS(BroydenFletcherGoldfarbShanno)修正公式，本文采用新的BFGS修正公式(式(9)、式(10))求解Dk，即：

(9)

(10)

其中：

(11)

(12)

(13)

式(9)、(10)中Dk+1为Dk经过修正后得到的矩阵。

在第k次迭代求得sk后，第k+1次的状态量xk+1通常以线性搜索确定：

(14)

式中λk为最优步长。

精确线性搜索为

(15)

由于其不能在有限步内完成，在实际过程中可采用不精确搜索，即λk满足以下的条件：

(16)

式中：σ1∈(0，0.5)，σ2∈(σ1，1)。

随着计算规模的变大，不精确搜索的搜索时间也相应地延长，故本文采用信赖域法代替求解下降方向和步长。

在信赖域法中，要求目标函数f(x)在xk的试探步sk必须在信赖域hk内，即每次迭代的试探步满足以下的条件：

(17)

为了选择合适的Rk，定义一个衡量q(k)(sk)逼近f(x)的量

(18)

于是基于拟牛顿信赖域法的非线性状态估计计算步骤如下。

c)计算f(xk+sk)和q(k)(sk)，并根据式(18)求ρk。

d)计算信赖域半径Rk+1。

③不在上述两种情况时则在原来的信赖域半径内搜索，即Rk+1=Rk。

e)求xk+1和Dk+1。如果ρk≤0，令xk+1=xk，由式(10)求解Dk+1；如果ρk>0，令xk+1=xk+sk，由式(9)求解Dk+1，转步骤a)。

对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差；如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也微小，数值稳定性好。条件数事实上表示矩阵计算对于误差的敏感性。

在WLS中，A对应于HTwH，在本文算法中，A对应于HTwH+D，本文在算例中将通过计算HTwH、HTwH+D以及文献[14]所提阻尼最小二乘法中A所对应的矩阵的条件数来比较WLS、本文算法以及阻尼最小二乘法的数值计算稳定性。

3算例分析

为了验证本文方法的相关性能，对多个节点系统进行了仿真计算。状态量和量测量的真值通过潮流计算得到，量测数据为真值加上不同标准差的白噪声所得，收敛精度设为10-5。

3.1算法估计的可靠性测试

为了验证本文算法估计的可靠性，对IEEE 57、IEEE 118节点系统进行仿真计算，在加不同标准差的白噪声下将本文算法与WLS的计算结果与真值进行比较，得到的结果见表1、表2，衡量标准采用式(19)、(20)：

(19)

(20)

表1IEEE 57节点系统的估计结果

标准差衡量项目WLS本文算法0.001S12.36×10-52.36×10-5S21.78×10-51.76×10-50.005S13.56×10-53.58×10-5S22.78×10-52.78×10-50.010S16.25×10-56.24×10-5S27.58×10-47.56×10-4

表2　IEEE 118节点系统的估计结果

由表1、表2可以看出，本文方法对两个不同节点数、不同标准差下的计算结果与WLS几乎趋于一致，随着标准差的增加，本文方法的估计结果精度的数量级始终稳定在10-5～10-4，表明本文方法的估计结果可靠有效。

3.2算法的收敛性能测试

3.2.1拟牛顿法采用线搜索规则与采用信赖域法的迭代速度比较

为了验证拟牛顿法采用线搜索规则和信赖域法两种不同策略下的迭代速度，对IEEE 14、IEEE 57和IEEE 118节点系统加标准差0.001的白噪声，将两种不同策略下拟牛顿法收敛需要的迭代次数进行比较，得到的结果见表3。

表3两种不同策略下的迭代次数比较

节点系统迭代次数方法1方法2IEEE14103IEEE57113IEEE118113

注：采用线搜索规则记为方法1，采用信赖域法记为方法2。

由表3可以看出，方法1的迭代次数远远多于方法2，方法2的迭代次数相比方法1最高减少了72.73%，表明拟牛顿法采用信赖域法的迭代速度明显快于采用线搜索规则。

3.2.2本文算法与几种求解非线性最小二乘问题的经典方法的收敛速度比较

为了验证本文所提算法的收敛速度，对上述节点系统加不同标准差的白噪声，将分别采用拟牛顿法、WLS、阻尼最小二乘法(L-M法)以及本文算法收敛需要的迭代次数和迭代时间进行比较，得到的迭代次数比较结果见表4，迭代时间比较结果见表5。

表4　4种不同方法的迭代次数比较

注：拟牛顿法记为方法1，WLS记为方法2，L-M法记为方法3，本文算法记为方法4。

由表4可以看到，方法3和方法4的迭代次数最少，方法1的迭代次数最多。方法4优于方法3且对于不同标准差的迭代次数相比WLS均较少，尤其当标准差为0.010时，本文算法相比WLS的迭代收敛次数减少了40%。同时本文算法对于不同节点数、不同标准差的迭代次数始终稳定在3次，收敛迭代次数趋于稳定。4种方法的迭代次数比较：方法1>方法2>方法3>方法4。

表54种不同方法的迭代时间比较

节点系统标准差迭代时间/s方法1方法2方法3方法4IEEE140.0010.11120.00910.00680.00520.0050.14220.01450.01230.00620.0100.16010.01620.01480.0073IEEE570.0011.23210.22510.15250.12520.0051.25340.24620.17520.13620.0101.28010.26220.18330.1425IEEE1180.0013.53421.28341.08750.97560.0053.60211.30351.12050.98520.0103.65811.40531.25200.9998

注：拟牛顿法记为方法1，WLS记为方法2，L-M法记为方法3，本文算法记为方法4。

由表5可以看到，方法1的计算时间较长，方法3是在方法2的基础上的改进算法，其计算速度快于方法2，方法4优于方法3且对于不同标准差的计算时间相比WLS均较短，计算时间也趋于相同，与表4中的迭代次数所反映的情况一致。4种方法的计算速度比较：方法4>方法3>方法2>方法1。

3.3算法的数值计算稳定性测试

条件数代表矩阵计算对误差的敏感性，对于状态估计，如果信息矩阵的条件数偏小，则代表算法的数值计算稳定性能较好。对IEEE 57、IEEE 118节点系统分别加不同标准差的白噪声，将本文算法与WLS、L-M法最后一次迭代信息矩阵的条件数进行比较，得到的结果见表6。由表6可以看出，方法3和方法2的数值计算稳定性趋于一致。方法3对于不同标准差的信息矩阵条件数相比方法1减少了90%以上，最高减少了97.02%，表明本文算法的数值计算稳定性优于WLS，究其原因是充分考虑了非线性项的计算。

表63种不同方法的信息矩阵条件数比较

节点系统标准差信息矩阵条件数方法1方法2方法3IEEE570.0015.21×1082.12×1071.89×1070.0052.53×1082.45×1072.41×1070.0102.56×10101.42×1091.30×109IEEE1180.0016.75×1081.75×1071.72×1070.0052.49×1081.31×1071.22×1070.0108.87×10104.35×1094.29×109

注：WLS记为方法1，L-M法记为方法2，本文算法记为方法3。

3.4实际电网测试

为验证本文方法在实际算例中的效果，对我国华东某省网进行状态估计，将本文方法与WLS的状态估计结果进行比较，结果见表7。由表7可知，本文方法合格率与WLS基本一致，但在计算时间上仅为WLS的78%，验证了本文方法在实际算例中的速度优势。

表7两种方法实际电网合格率比较

方法合格率/%计算时间/sWLS95.443.7250本文方法95.572.9055

4结束语

本文提出一种基于拟牛顿信赖域法的非线性状态估计法。采用拟牛顿法根据一阶导数信息和目标函数值信息近似构造海森矩阵，避免海森矩阵的直接计算。采用信赖域法代替原来的线搜索规则求目标函数的下降方向和步长，减少算法的计算时间。算例测试表明本文算法的估计结果可靠，在收敛速度和数值计算稳定性方面均优于WLS和其他同类算法。

参考文献：

[1] 于尔铿.电力系统状态估计[M]. 北京：水利水电出版社，1985：61-65.

[2] 李碧君，薛禹胜，顾锦汶，等.电力系统状态估计问题的研究现状和展望[J]. 电力系统自动化，1988，22(11)：53-60.

LI Bijun，XUE Yusheng，GU Jinwen，et al. Current Situation and Propects of Power System State Estimation[J]. Automation of Electric Power Systems，1988，22(11)：53-60.

[3] BAROCIO E.Solving State Estimation in Power Systems by an Interior Point Method[J]. International Journal of Electrical Power and Energy Systems，2000，22(5)：355-365.

[4] IRVING M R.Robust Algorithm for Generalized State Estimation[J]. IEEE Trans. on Power Systems，2009，24(4)：1886-1887.

[5] CHAWASAK R，SUTTICHAI P，SERMSAK U，et al. An Interior Point Method for WLAV State Estimation of Power System with UPFCs[J]. International Journal of Electrical Power and Energy Systems，2010，32(6)：671-677.

[6] YABE H，OGASAWARA H.Quadratic and Superlinear Convergence of the Huschens Method for Nonlinear Least Squares Problems[J]. Computational Optimization and Applications，1998，10(1)：79-103.

[7] ZHANG J Z，XUE Y，ZHANG K.A Structured Secant Method Based on a new Quasi-newton Equation for Nonlinear Least Squares Problems[J]. BIT Numerical Mathematics，2003， 43(1)： 217-229.

[8] GOMEZ-EXPOSITO A，VILLA A D L.Two-level State Estimation with Local Measurement Pre-processing [J]. IEEE Trans. on Power Systems，2009，24(2)：676-684.

[9] GOMEZ-EXPOSITO A，GOMEZ-QUILES C，VILLA A D L.Bilinear Power System State Estimation[J]. IEEE Trans. on Power Systems，2012，27(1)：493-501.

[10] XIE Liang，JIANG Xiaodong，LI Shaohua.Weighted Multiple Predictor-corrector Interior Point Method for Optimal Power Flow[J]. Electric Power Components and Systems，2011，39(2)：99-112.

[11] 顾锦汶.对有关标准中关于状态估计的一些不同意见[J]. 电力系统自动化，2014，38(1)：134-135.

GU Jinwen.Disagreements Discussion on State Estimation in Related Standards[J]. Automation of Electric Power Systems，2014，38(1)：134-135.

[12] 叶芳，卫志农，孙国强，等.基于自动微分技术的电力系统状态估计算法研究[J]. 电力系统保护与控制，2010，38(17)：91-95.

YE Fang，WEI Zhinong，SUN Guoqiang，et al. State Estimation of Power Systems with Automatic Sifferentiation Technology[J]. Power System Protection and Control，2010，38(17)：91-95.

[13] 孙英君，陶华学.非线性最小二乘法在电力系统状态估计中的应用[J]. 勘察科学技术，2001(4)：45-48.

SUN Yingjun，TAO Huaxue.Application of Non-linear Least Square Method in the State Estimation of Electric Power System[J]. Site Investigation Science and Technology，2001(4)：45-48.

[14] 刘广一，胡锡龙，于尔铿，等.快速正交变换阻尼最小二乘法在电力系统状态估计中的应用[J]. 中国电机工程学报，1991，11(6)：34-40.

LIU Guangyi，HU Xilong，YU Erkeng，et al. Application of Fast Oorthogonal Transformation with Damping Factor to Power System State Estimation[J]. Proceedings of the CSEE，1991，11(6)：34-40.

[15] 孙风建.基于新拟牛顿方程的非线性最小二乘的一类新算法[D]. 南京：南京理工大学，2007.

[16] 耿玲玲.无约束优化问题线搜索法和信赖域法的研究[D]. 北京：北京邮电大学，2010.

[17] 田玥，陈晓非.利用拟牛顿法和信赖域法联合反演震中分布与一维速度结构[J]. 地球物理学报，2006，49(3)：845-854.

TIAN Yue，CHEN Xiaofei.Simultaneous Inversion of Hypocenters and Velocity Using the Quasi-newton Method and Trust Region Method[J]. Chinese Journal of Geophysics，2006，49(3)： 845-854.

[18] 李红军，李敬如，杨卫红.基于信赖域法的城市电网供电能力充裕度评估[J]. 电网技术，2010，34(8)：92-96.

LI Hongjun，LI Jingru，YANG Weihong.Assessment of Urban Power Network Power Supply Capability by Trust Region Method[J]. Power System Technology，2010，34(8)：92-96.

[19] HUA Wei，SASAKI H.，KUBOKAWA J，et al. An Interior Point Method for Power System Weighted Monlinear L1 Norm Staic State Estimaiton[J]. IEEE Trans. on Power Systems，1998，13(2)：617-623.

[20] JABR R A.Radial Distribution Load Flow Using Conic Programming[J]. IEEE Transactions on Power Systems，2006，21(3)：1458-1459.

[21] 周继东，吴道明，王海鹰，等.几何与线性代数[M]. 南京：河海大学出版社，2008：160-205.

[22] ZHOU Renjun，ZHANG Yanping，YANG Hongming. A Trust-region Algorithm Based on Global SQP for Reactive Power Optimization[C]// 2005 2nd International Conference on Electricial and Electronics Engineering (ICEEE). Mexico：ICEEE，2005：292-295.

[23] 李红军，陆超，胡晓光. 应用信赖域法的广域阻尼控制器参数优化[J]. 电力设备自动化，2007，27(10)：24-28.

LI Hongjun，LU Chao，HU Xiaoguang. Trust Region Wide Area Damping Controller Parameter Coordination[J]. Electric Power Automation Equipment，2007，27(10)：24-28.

黄石(1986)，男，江苏泰州人。助理工程师，工学硕士，研究方向为电力系统分析与控制。

冯蒙霜(1989)，女，江苏苏州人。助理工程师，工学硕士，研究方向为电力系统分析与控制。

(编辑彭艳)

Application of Quasi-Newton Trust Region Method in Nonlinear State Estimation

HUANG Shi1, FENG Mengshuang2

(1.State Grid Taizhou Power Supply Company, Taizhou, Jiangsu 225300,China; 2.State Grid Suzhou Power Supply Company, Suzhou, Jiangsu 215000, China)

Abstract：A kind of nonlinear state estimation method based on quasi-Newton trust region method is proposed. Quasi-Newton method is used to construct Hessian matrix. Although it only uses first-order derivate information and numerical information of the target function, but due to ensuring positive definition and quasi-Newton condition, the Hessian matrix acquired by using quasi-Newton method is more highly stable than that acquired by using analytical method. It is able to reduce calculating time of the algorithm by using trust region method instead of line search method to solve descent direction and step size. Simulating testing on multiple node systems verifies effectiveness of this algorithm.

Key words：power system; state estimation; nonlinear; quasi-Newton; trust region method

作者简介：

中图分类号：TM73；F426.61

文献标志码：A

文章编号：1007-290X(2016)02-0070-06

doi:10.3969/j.issn.1007-290X.2016.02.014

收稿日期：2015-06-07修回日期：2015-10-29