“课例研究”的一个实例：数学思维的教学——“‘课例研究’之思考与实践”系列之二（下）

◇郑毓信

“课例研究”的一个实例：数学思维的教学
——“‘课例研究’之思考与实践”系列之二（下）

◇郑毓信

(上接2016年第5期第7页）

三、与变化相关的若干数学思想

与“联系的观点”一样，“变化的观点”作为现实生活中最常用的思想方法之一在数学中也有十分广泛的应用。当然，它也有一些特殊的含义与用法，以下就借助具体课例进行说明。

首先，研究对象由常量向变量的转变就可以看成由 “初等数学”过渡到“变量数学”的主要标志。另外，尽管“变量数学”的主要内容，特别是微积分理论，已经超出了小学数学的范围，但是仍然可以看到相关数学思想的渗透。

具体地说，如果说“函数”这一概念集中地表明了我们应当注意研究不同变量之间的关系，那么，“比”的概念就具体地体现了这一数学思想，我们应努力寻找“变化中的不变成分”，其本身也可被看成一种最为简单的函数——正比例函数。

也正因如此，与主要致力于创设现实情境，即突出“比”这一概念与实际生活的联系相比较，在这一内容的教学中就应更加突出其所反映的研究视角，即集中于 “变化中的不变成分”。例如，从上述角度去分析，许卫兵老师以“蜜茶的配制方法”引入“比”显然就是较为恰当的[5]，特别是，教学中他将学生的注意力引向这样一个问题：“蜂蜜的量在变，水的量也在变，为什么配制出的蜜茶依然‘甜味适中，味道很好’？”另外，尽管我们在教学中应当帮助学生很好地认识比、除法与分数这三者之间的对等关系，但同时应清楚地指明它们各自的特点和适用范围，包括相应的研究视角。（对此可见参考文献[7]）

由以下分析我们可以更好地理解“寻找变化中的不变成分”对于数学研究的特殊重要性：它不仅可以看成“找规律”活动的基本立足点，也直接体现了由实例抽象出一般性概念的本质，尽管这时我们所使用的是“规律”“本质”等词语，而不是“变”与“不变”等概念。

另外，事实上“寻找变化中的不变成分”也可以看成“变式理论”的核心所在。例如，徐斌老师关于“分数乘法实际问题”的教学设计[5]就可被看成“过程式变式”的具体应用，即我们如何能够通过相关情境，特别是条件与所要解决问题的变化（包括同一问题的不同解法），帮助学生较好地掌握一类问题的共同特点（以及不同问题之间的联系），即由不同实例抽象出相应的模式，从而以此为基础更为有效地解决更多的问题［以下就是变式理论中关于“过程式变式”的具体论述：“构建特定经验系统的变式 （即过程能力）来自问题解决的三个维度：（1）改变某一问题。改变初始问题成为一个铺垫，或者通过改变条件、改变结论和推广来拓展初始问题。（2）把同一个问题的不同解决过程作为变式，形成一个问题的多种解决方法，从而联结各种不同的解决方法。（3）同一方法解决多种问题，将某种特定方法用于解决一类相似的问题。”[7]］——显然，这也就更为清楚地表明了上述思想的方法论意义。

以下就是徐斌老师在自己的课例中所提到的一些问题（为方便起见，笔者作了适当简化）：

（1）岭南小学六年级有 45个同学参加学校运动会，其中男运动员占，男运动员有多少人？（原来的问题是：“由所给出的条件，你能知道什么？”）

（2）在上述问题中，女运动员有多少人？（教师在课堂上所提的问题是：“要求女运动员有多少人，可以先求什么？”由于这时存在三种不同的解法，教师在课堂上又追问道：“这三种解法有什么相同点和不同点？”）

（6）苏州园科文中心上映电影，共有300张票，____。还剩多少张票没卖完？（请补充条件，并列式解答）

（7）阳澄湖蟹庄计划销售蟹1400千克，结果第一个月销售了计划的，第二个月销售了计划的， ？（请自主补充问题，并列式）

除“寻找变化中的不变成分”外，以下也是与变化直接有关的一个重要数学思想：如果变化中不存在不变成分，这时我们往往就应根据需要在可能的变化中找出最佳的选择——从数学的角度看，这也就是所谓的“极值问题”。

例如，从上述角度分析，我们显然也就能更好地理解刘德武老师的课例——体积的问题[5]。

在这节课上，刘老师首先对相关知识进行了回顾：“这儿有一个没有盖儿的长方体纸盒，如果让你求它的体积，怎么计算？”然后，通过将任务转化成“将一张长方形纸剪拼成一个长方体，并计算长方体的体积”，教师又提出了这样一个问题：就这样的情况，你能不能大胆地提出一个与它的体积有关的问题？再者，通过条件的适当变化，如将“在四个角上分别剪去一个边长为4厘米的正方形”改为“在四个角上分别剪去一个边长为2厘米的正方形”，并进一步思考“体积会怎样？会变大、变小，还是不变”，教师又将学生的注意力引向了这样一个问题：“谁愿意大胆地猜猜看，怎样剪所得出的长方体体积最大？”由此可见，尽管教师在这一教学活动中并没有明确提出所谓的“极值问题”，但相关的教学设计很好地体现了上述数学思想。

四、数学抽象的建构性质与反思性质

上面已经提到了数学抽象的建构性质，这就是指，数学并不是对客观事物或现象量性特征的直接研究；恰恰相反，即使在具有明显现实原型的情况下，数学抽象也是一种“重新建构”的活动，我们应当把这种建构活动的产物作为直接的研究对象。

应当指出的是，从上述角度去分析，我们也就可以清楚地看出在“抽象的思想”与“分类的思想”之间所存在的重要区别（从而，我们事实上也就不应将“分类的思想”简单地归属于“数学抽象的思想”，尽管在很多情况下适当的抽象的确为准确、有效地进行分类提供了必要准则）：尽管“分类”为由各个特例抽象出一般性概念提供了直接基础，但这毕竟不应等同于具体的抽象活动，因为我们所关注的只是依据对象的某些特征将其区分为不同的类别，而并非抽象活动本身。

还应强调的是，数学抽象的建构性质还直接关系到一种十分重要的数学思想：客体化与结构化的思想。客体化思想是指，尽管数学概念只是抽象思维的产物，而非现实世界中的真实存在，但是，由于它是借助于明确的定义（包括“显定义”和“隐定义”）得到建构的，而且在严格的数学研究中，我们只能依靠定义和相应的规则去进行推理，而不能求助于直观，因此，尽管某些数学概念在最初很可能只是少数人的“发明创造”，但是，一旦这些对象得到了建构，它们就立即获得了确定的客观意义，或者说，这时我们必须将此看成完全不依赖于思维的独立存在。我们还可以在更高的层面上去论及数学研究的“客观性”：数学对象主要应被看成一种“文化物”。正如著名数学家波莱尔所指出的：“凡属文明或文化上的所有事物，我们往往假定了它们的存在，因为它们是我们和别人共有的东西，我们可以就它们互相交流思想。有些东西，只要我们相信在别人的头脑里和自己的头脑里都是以同样的形式存在的，我们可以一起来考虑和讨论，那么它就成为客观事物（而不是‘主观’事物）了。”[8]进而，正因为数学对象是明确定义的产物，数学结论又是按照相应的定义与给定的推理规则进行推理的结果，所以数学对象的性质就完全反映了它们的相互关系。也就是说，数学对象的建构事实上是一种整体性的活动，或者说，数学对象并非各个孤立的对象，而是整体性的结构——这也就是“结构化思想”的基本含义。

显然，按照上述分析，我们可以引出这样一个结论：尽管小学几何与算术的教学存在重要的区别，算术的学习主要可以归结为数的认识与运算，几何的学习则主要集中于图形的认识以及如何去求得它们的量性属性（如周长、面积、体积），但在两者的教学中我们又都应当突出 “客体化与结构化”这一数学思想，因为无论是算术还是几何的研究对象，它们都是抽象思维的产物。

这也就为现实中经常出现的以下错误提供了直接解释，即这主要是因为学生还没有习惯于将分数看成独立的对象，并从纯粹的数量比较这一角度研究它们的相互关系：“未必比大，因为很可能是指某一较小整体的，而可能是另一很大整体的。”从同一角度分析，我们显然又可看出，所谓的“无量纲性”并不能被看成分数的本质特征，因为如果我们始终未能超越其现实原型并从纯粹的数量比较这一角度去从事研究，那么，即使就最简单的自然数的认识而言，我们也可能陷入同样的误区，比如认为：“2未必比3小，因为这里所说的‘2’可能指‘2 个十’，相应的‘3’则可能指‘3个一’。”

另外，数学抽象的又一重要特征是：数学抽象具有无限的发展可能性，它主要表现为特殊与一般的辩证运动。具体地，如果说 “由特殊上升到一般”可被看成“抽象”最为基本的含义，那么，数学中的抽象就不仅是指这样一种含义（对此可称为“弱抽象”），而且也包括相反方向上的运动，即我们如何能够通过引入新的特征强化原型以完成新的抽象（这就是所谓的“强抽象”）。例如，梯形、平行四边形和长方形等概念可以看成是以四边形为原型并通过依次引入 “一组对边互相平行”“两组对边互相平行”“一个角是直角”等条件所逐步生成的。

应当强调的是，在弱抽象与强抽象之间存在着互相依赖、相互促进的重要联系。例如，著名的法国布尔巴基学派首先就是以某些基本的数学理论（自然数理论、实数理论等）为原型，通过弱抽象获得了“代数结构”“序结构”“拓扑结构”这三种基本的“母结构”；然后，以此为基础，他们又通过强抽象构造出了各种各样的“子结构”——这样，通过弱抽象与强抽象的综合运用，我们最终获得了一个无限丰富但又井然有序的数学世界。

以上我们主要是以一些具体课例为背景引出了若干较为重要的数学思想，应当强调的是，尽管这些课例在很多方面都为相关内容的教学提供了直接的范例，但我们的分析显然已超出这一范围而上升到了更高的高度，或者说真正做到了“小中见大”，从而，也就为“课例研究的必要发展”提供了一个实例。

[5]方运加.品课·小学数学卷001[M].北京：教育科学出版社，2013：165-200；127-143；43-63.

[7]顾冷沅，等.变式教学：促进有效的数学学习的中国方式[J].云南教育（中学教师），2007（3）：25-28.

[8]邓东阜，等.数学与文化[M].北京：北京大学出版社，1990：149.

（作者系南京大学哲学系教授，博士生导师，本刊顾问）