关于居间广义量词“few”的广义三段论的有效性

吴宝祥，李　晟

(四川师范大学　a.政治教育学院; b.逻辑与信息研究中心, 成都　610066)



关于居间广义量词“few”的广义三段论的有效性

吴宝祥a,b，李晟a,b

(四川师范大学a.政治教育学院; b.逻辑与信息研究中心, 成都610066)

摘要：在自然语言中，存在大量的各种各样的广义量词，其中一种被称为居间量词。利用广义量词理论给出居间量词的语义定义，再利用集合论证明广义三段论的有效性，这一研究方法也适用于研究关于其他广义量词的广义三段论的有效性；为有助于自然语言信息处理，提出并证明了居间广义量词few的12个有效的广义三段论。

关键词：广义量词；居间量词；广义三段论；有效性

一、引言

在自然语言信息处理、计算机科学中的知识表示和知识推理领域，语篇推理是研究的重点与难点。经过深入的研究，一些学者发现：大多数自然语言语篇推理是根据语境省略了的、一个又一个三段论推理(在本文中，三段论推理包括传统三段论推理和广义三段论推理)，经过层层嵌套、环环相扣而成的[1]。因此，要判断一个语篇推理是否有效的关键，大多数时候都需要判断其所涉及的三段论推理是否有效。

在256种传统三段论中，只有24种三段论是有效的。如何从这256种中，筛选出24种有效的三段论，是传统逻辑的重要研究内容之一。同样的道理，如何从数不胜数的广义三段论中筛选出有效的广义三段论，则应该是自然语言逻辑(乃至于现代逻辑)的重要研究内容之一。

判断传统三段论有效性的常见方法有：(1)基本原则法；(2)欧拉图解法；(3)文恩图解法[2]187-193。此外，利用广义量词理论，也可以判断传统三段论的有效性。比如：利用广义量词的语义定义或语义性质，就可形式化解释和证明传统三段论的有效性[3]。

广义量词理论[4]1-11主要研究广义量词(包括一阶逻辑中的两个标准量词)的普遍语义性质及其推理特征；该理论是一阶逻辑的扩展理论[5]2-3，也优越于一阶逻辑理论。正如广义量词是一阶逻辑中两个标准量词(即全称量词和存在量词)的扩展一样，广义三段论是传统三段论扩展，因此广义三段论也叫扩展三段论。

广义量词包括全称量词和存在量词、限定词，以及由限定词a、an、the 或其他量化关系指称形成的所有名词短语[6]。比如：“我的狗狗、少数人、不到一半的、5个、这些、两者都不、两者都、多于九分之五的、大多数的、无穷多个的”都是广义量词。在各种各样的广义量词中，有一类广义量词的语义比较模糊，比如：极少(extremely few)、很少(few)、许多(a number of)、很多(many)、大多数(most)、一部分(a part of)、几乎没有(almost no)、几乎全部(almost all)等等，这类广义量词被称为居间量词(intermediate quantifiers)[7]，也有学者把它们称为模糊广义量词[8]。

虽然Peterson较为详细地研究了居间量词的语义性质[9]，但没有对其理论进行形式化。而Novák[10]、Murinová[7]虽然对一些关于居间量词的广义三段论的有效性进行了形式化的研究，但是他们对居间量词语义定义和语义性质的表示及其有效广义三段论的证明，都较为繁琐复杂。

经过研究，我们发现：可以首先利用模糊逻辑给出居间广义量词的真值定义，然后再利用广义量词的语义性质及其相关关系，对居间广义量词所涉及的广义三段论的有效性，进行简洁明了的形式化解释和证明。这些形式化表示是计算机进行知识表示、知识推理、语篇推理，进而为专家系统开发更加智能的推理机的前提。由于篇幅的原因，本文仅仅研究自然语言中常见的居间广义量词few所涉及的广义三段论的有效性。

二、相关基础知识

在自然语言中，〈1,1〉类型的量词最为普遍。绝大多数限定词对应于这类量词，它表示其左论元和右论元所涉及的集合之间的关系。本文所涉及的量词few、all、no、some、most、many、almost all都是〈1,1〉类型量词。以〈1,1〉类型量词开头的量化语句都具有Q(A,B)这样的三分结构，这种结构在自然语言中非常普遍[11]。例如：“很少大学生毕业论文写得很好”，可以表示为few(A,B)。其中，few是居间广义量词，A是论域中的大学生个体组成的集合，B是毕业论文写得很好的个体组成的集合。类似的：“所有的S是P”可以表示为all(S,P)， “很少S不是P”可以表示为few(S,P)。下文中的其他表示与此类似。

下面我们给出本文将涉及到的量化语句的语义定义，这类语义定义也可以看作是所涉及的广义量词的真值定义。

定义1：量化语句的语义定义

(1) all(S,P) ⟺ S⊆P；

(2) no(S,P) ⟺ S∩P = ∅；

(3) some(S,P) ⟺ S∩P ≠ ∅；

(5) most(S,P)⟺|S∩P|≥0.75|S|；

(7) many(S,P)⟺|S∩P|≥0.8|S|；

(9) almost all(S,P)⟺|S∩P|≥0.9|S|；

(11) few(S,P)⟺|S∩P|≤0.3|S|；

对于上面的语义定义，有一点值得一提，我们所设置的数值带有一定主观性，即：不同的人可能会赋予表达式不同的数值，这是由于不同的人对具体的广义量词存在感受性的差异。但是数值的变化，不会对本文所涉及到的广义三段论的有效性产生影响。比如，若把(9)改为：almost all(S,P)⟺|S∩P|≤ 0.95|S|，则(10)应改为：almost all(S,P) ⟺|S∩P|< 0.05|S|；不论数值如何改变，我们赋予almost all(S,P)与almost all(S,P)的数值之和均为1，即P与P这一关系是不变的，因此所涉及到的广义三段论的有效性是不会变的。

根据上面的定义，直观上，我们很容易得到以下事实：

事实0：

(1) no(S,P) ⟹ few(S,P)；

证明：(1)假设no(S,P)成立，根据定义1的(2)可知：no(S,P) ⟺S∩P=∅，而|S∩P|= 0 ≤ 0.3|S|，即|S∩P|≤ 0.3|S|，再根据定义1的(11)可知，few(S,P)成立。(2)、(3)和(4)的证明与(1)的证明类似。(5)假设命题不成立，即few(S,P)成立，但some(S,P)不成立，即some(S,P)成立。根据定义1的(4)可知：some(S,P) ⟺(SP) ⟺ S⊆P，则|S∩P|=|S|。又由于few(S,P)成立，根据定义1的(11)可知：few(S,P)⟺|S∩P|≤ 0.3|S|，这就产生了矛盾，所以，假设不成立。故：few(S,P) ⟹ some(S,P)。

三、关于居间量词few的有效的广义三段论推理模式及其证明

根据定义1以及事实0，结合Murinová与Novák[7]、Peters与Westerståh[4]等人的研究成果，笔者给出了如下12个关于居间广义量词few的广义三段论推理模式，并对其有效性进行了证明。

事实1：广义三段论no(M,P) & almost all(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

证明：首先证明广义三段论no(M,P) & almost all(S,M) ⟹ almost all(S,P) 是有效的。假设no(M,P) & almost all (S,M)这两个前提都成立，那么根据no(M,P)和almost all(S,M)的语义定义可知：no(M,P) ⟺ M∩P=∅，almost all(S,M)⟺|S∩M|≤0.9|S|。即：M∩P=∅且|S∩M|≤0.9|S|，因此：|S∩P|<0.1|S|。根据定义1的(10)“|S∩P|<0.1|S|⟺almost all(S,P)”可知：almost all(S,P)成立。再根据事实0的(2)“almost all(S,P) ⟹ few(S,P)”可知：few(S,P)成立。证毕。

例如：

[1] 大前提：没有进口水果被卖出去，

小前提：几乎所有的每斤30元以上的水果都是进口水果；

结论：每斤30元以上的水果很少被卖出去。

这一广义三段论实例例证了事实1是有效的。

事实2：广义三段论no(M,P) & many(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

证明：首先广义三段论no(M,P) & many(S,M) ⟹ many(S,P)是有效的。假设no(M,P) & many(S,M)这两个前提都成立，那么根据no(M,P)和many(S,M)的真值定义可知：no(M,P) ⟺ M∩P=∅，many(S,M)⟺|S∩M|≤0.8|S|。即：M∩P=∅且|S∩M|≤0.8|S|，因此：|S∩P|<0.2|S|。根据定义1的(8)“|S∩P|<0.2|S|⟺many(S,P)”可知：many(S,P)成立。再根据事实0的(3)“many(S,P) ⟹ few(S,P)”可知：few(S,P)成立。证毕。

事实3：广义三段论no(M,P) & most(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

证明：首先证明广义三段论no(M,P) & most(S,M) ⟹ most(S,P) 是有效的。其证明过程与事实2中的证明“no(M,P) & many(S,M) ⟹ many(S,P)”的有效性类似。再根据事实0的(4)“most(S,P) ⟹ few(S,P)”可知：few(S,P)成立。证毕。

事实4：广义三段论all(P,M) & no(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

证明：假设all(P,M) & no(S,M)这两个前提成立。根据all(P,M)和no(S,M)的语义定义可知：all(P,M) ⟺ P⊆M，no(S,M) ⟺ S∩M=∅。即：P⊆M且S∩M =∅，因此：S∩P=∅，所以|S∩P|=0 ≤0.3|S|，再根据定义1的(11)“|S∩P|≤ 0.3|S|⟺ few(S,P)”可知：few(S,P)成立。证毕。

事实5：广义三段论no(P,M) & all(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

事实5的证明类似于事实4的证明。

事实6：广义三段论all(P,M) & few(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

证明：假设all(P,M) & few(S,M)这两个前提成立。根据all(P,M)和few(S,M)的语义定义可知：all(P,M) ⟺ P⊆M，few(S,M) ⟺ |S∩M|≤0.3|S|。即：P⊆M且|S∩M|≤ 0.3|S|，因此：|S∩P|≤ 0.3|S|，再根据定义1的(11)“|S∩P|≤ 0.3|S|⟺ few(S,P)”可知：few(S,P)成立。证毕。

事实7：广义三段论all(M,P) & most(S,M) ⟹few(S,P)是有效的。

证明：假设all(M,P) & most(S,M)这两个前提成立，根据all(M,P)和most(S,M)的语义定义可知：all(M,P) ⟺ M⊆P，most(S,M) ⟺|S∩M|≤0.75|S|。即，M⊆P &|S∩M|≤0.75|S|，因此：|S∩P|≤ 0.75|S|> 0.7|S|，再根据定义1的(12)“few(S,P)⟺|S∩P|> 0.7|S|”可知：few(S,P)成立。证毕。

事实8：广义三段论all(M,P) & many(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

证明：假设all(M,P) & many(S,M)这两个前提成立，根据all(M,P)和many(S,M)的语义定义可知：all(M,P) ⟺ M⊆P，|S∩P|≤ 0.8|S|⟺ many(S,P)。即，M⊆P &|S∩M|≤ 0.8|S|，因此：|S∩P|≤0.8|S|> 0.7|S|。再根据定义1的(12)“few(S,P)⟺|S∩P|> 0.7|S|”可知：：few(S,P)成立。证毕。

事实9：广义三段论no(P,M) & almost all(S,M) ⟹ few(S,P)是有效的。

事实9的证明类似于事实1的证明：可以先证明no(P,M) & almost all(S,M) ⟹ almost all(S,P)，然后再根据事实0的(2)“almost all(S,P) ⟹ few(S,P)”即可证得事实9。

事实10：广义三段论few(M,P) & almost all(M,S) ⟹ some(S,P)是有效的。

证明：假设few(M,P) & almost all(M,S)这两个前提成立。根据few(M,P)和almost all(M,S)的语义定义可知：few(M,P) ⟺ |M∩P|≤ 0.3|M|，almost all(M,S)⟺|M∩S|≤ 0.9|M|。即|M∩P|≤ 0.3|M|且|M∩S|≤ 0.9|M|，因此：SP，再根据定义1的(4)“some(S,P) ⟺ SP”可知：some(S,P) 成立。证毕。

事实11：广义三段论few(M,P) & many(M,S) ⟹ some(S,P)是有效的。

证明：假设few(M,P) & many(M,S)这两个前提成立。根据few(M,P)和many(M,S)的语义定义可知：few (M,P) ⟺ |M∩P|≤ 0.3|M|，many(M,S)⟺|M∩S|> 0.8|M|。即|M∩P|≤ 0.3|M|且|M∩S|> 0.8|M|，因此：SP，再根据定义1的(4)“some(S,P) ⟺ SP”可知：some(S,P) 成立。证毕。

事实12：广义三段论all(P,M) & no(M,S) ⟹ few(S,P)是有效的。

事实12的证明类似于事实4的证明。

例如：

[2] 大前提：所有的纯情女人都是喜欢看电视剧《花千骨》的女人，

小前提：没有喜欢看电视剧《花千骨》的女人是李村的女人；

结论：很少李村的女人是纯情女人。

这一广义三段论实例例证了事实12是有效的。

四、结束语

通过对有效的24种传统三段论的形式化[12]就可以发现这样的规律：有效的传统三段论的前提中，要么包含all(A,B)，要么包含no(A,B)这样的量化语句，要么二者兼之。这里的A、B或是主项S，或是谓项P，或是中项M。那么，在本文涉及的12个有效的广义三段论中，是否也存在这样的规律呢？在事实1—5、事实9和事实12这7个有效的广义三段论中，都包含no(A,B)这样的量化语句。而在事实4—8和事实12这6个有效的广义三段论中，都包含all(A,B)这样的量化语句。而事实10的前提是 few(M,P) & almost all(M,S)和事实11的前提是few(M,P) & many(M,S)，由于few(M,P)接近于no(M,P)，almost all(M,S) 接近于all(M,S)，可见这一规律对于大多数广义三段论而言，还是成立的。至少我们可以得出这样的结论：要找出一个任意广义量词Q所涉及的所有的广义三段论，我们可以把这个量词所涉及的量化语句Q(P,M)，与all(S,M)或no(S,M)或almost all(S,M)或few(S,M)这样量化语句作为前提，我们只需要判断并证明结论Q(S,P)是否有效就可以了；通过变换中项的位置，就可以得到新的广义三段论。

仔细观察就可以发现，本文的研究方法并不需要一些特设的条件，这一研究方法既适用于其他的居间广义量词，也适用于其他普通广义量词。只要给出一个居间量词的真值定义，就可以判断其特定推理模式是否有效，因此这一研究方法具有普适性、可操作行。自然语言中还有众多的有效广义三段论等待我们去发掘，比如，涉及a number of、a part of、a great deal of等等居间量词的广义三段论，其有效性都有待我们去研究。

人的记忆有限，要记住传统三段论中的有效式已并非易事，更不用说广义的有效三段论。但是计算机却不一样，它没有记忆的限制，如果我们能用可行的方法使计算机“理解”这些推理，那么每多一条有效推理，计算机的处理能力就增强一份。因此，我们的研究成果，相比于人，对自然语言信息处理、计算机科学中的知识表示和知识推理要更有意义，这些研究成果对于实现真正意义上的自然语言信息处理的自动化，更好地实现人际对话和人机对话都是大有裨益的。

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(责任编辑张佑法)

收稿日期：2016-01-10

基金项目：国家社会科学基金西部项目“面向中文信息处理的汉语主谓句的逻辑语义及其推理模式研究”(15XYY012)

作者简介：吴宝祥(1988—)，男，安徽安庆人，硕士研究生，研究方向：现代逻辑和自然语言逻辑；李晟(1986—)，男，四川德阳人，逻辑学博士，研究方向：现代逻辑和自然语言逻辑。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2016.07.003

中图分类号：B81

文献标识码：A

文章编号：1674-8425(2016)07-0012-05

The Validity of Generalized Syllogisms of the Intermediate Generalized Quantifier “Few”

WU Bao-xianga,b, LI Shenga,b

(a.College of Political Education; b.Institute of Logic and Information,Sichuan Normal University, Chengdu 610066, China)

Abstract:There are a great number of generalized quantifiers of all kinds in natural languages, one of which is named intermediate quantifiers. The semantic definitions of intermediate quantifiers are firstly given by means of generalized quantifier theory, and then set theory is utilized to prove the validity of generalized syllogisms. This research method is also applicable to the validity of generalized syllogisms including other generalized quantifiers. 12 valid generalized syllogisms including the intermediate generalized quantifier few are proposed and proved in this paper. It is hoped that the original findings will make contributions to natural language information processing.

Key words:generalized quantifier; intermediate quantifier; generalized syllogisms; validity

引用格式：吴宝祥，李晟.关于居间广义量词“few”的广义三段论的有效性[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2016(7):12-16.

Citation format：WU Bao-xiang, LI Sheng.The Validity of Generalized Syllogisms of the Intermediate Generalized Quantifier “Few”[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2016(7):12-16.