圆锥曲线中的易错点分析

甘肃 张自鹤

圆锥曲线中的易错点分析

甘肃 张自鹤

圆锥曲线是解析几何的主要内容，在高考试题中分值约占15%，在选择题、填空题中一般考查基础知识，解答题中必有一题，常作为把关题或压轴题，其考查重点是直线与圆锥曲线的位置关系、求曲线方程、最值问题等，着重考查学生的数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程、运算等方面的能力，对学生的思维能力、方法要求高，难度较大，但只要打好基础知识，有意识地防范一些易错点，尽可能地多得分还是可能的。圆锥曲线中的易错点较多，本文主要从知识点方面来探寻其致误的原因及防范措施，以期对广大同学有所帮助和警示．知识点方面常见的易错点主要有以下几点：

一、忽视圆锥曲线定义中的条件致误

【例1】若动圆P过点N（－2，0），且与另一圆M：（x－2）2＋y2＝8外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

【错因分析】忽视双曲线定义中的条件“差的绝对值”，很容易错认为所求的轨迹就是整个双曲线．

【正确解析】因为动圆P过点N（－2，0），所以｜PN｜是动圆的半径．又因为动圆P与圆M相外切，所以｜PM｜＝．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为，焦距｜MN｜为4的双曲线的左支，则，故动圆P的圆心的轨迹方程为：

【防范措施】（1）熟记圆锥曲线的定义，要特别注意双曲线定义中的条件“差的绝对值”，搞清楚是整条双曲线还是仅为其中的一支；（2）认真审题，注意数形结合，多动手画示意图帮助判断．

【变式训练】已知B（5，0），C（－5，0）是△ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程．

二、忽视离心率范围致误

【例2】已知点F1、F2分别是双曲线b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线离心率e的取值范围是（ ）

【错因分析】只考虑由不等关系解得的范围，而忽视双曲线离心率本身的取值范围．

【防范措施】在求圆锥曲线离心率的范围时，要注意不同曲线的离心率范围是不一样的，椭圆的离心率0＜e＜1，双曲线的离心率e＞1，抛物线的离心率e＝1，在由不等关系求出离心率的取值范围后，还要考虑和所在曲线本身离心率的取值范围取交集．

【参考答案】1＜e＜2．

三、焦点位置考虑不周致误

【例3】已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为4x－3y＝0，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的标准方程．

【错因分析】忽视双曲线焦点的位置，想当然地认为焦点只在x轴上或只在y轴上，因考虑不全而犯“对而不全”的错误．

【防范措施】在求双曲线方程时，一定要注意全面考虑，不要漏解．若焦点位置不确定，则常用两种方法来解决：一是分类讨论，分别考虑焦点在x轴和y轴上的情形；二是设双曲线方程为的形式．若双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0时，则也可将双曲线方程设为的形式来求解，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．

【变式训练】若一抛物线的焦点在x－2y－4＝0，求此抛物线的标准方程．

【参考答案】x2＝－8y或y2＝16x．

四、利用点差法解决中点弦问题时忽视判别式致误

【例4】已知双曲线2x2－y2＝2，过点P（1，1）能否作直线l，使直线l与双曲线交于A，B两点，且线段AB的中点为P（1，1）？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．

【错因分析】利用点差法求出中点弦所在直线的斜率，并写出方程后，没有利用判别式来判断直线与双曲线是否有交点致误．

【正确解析】假设存在l，使得点P（1，1）为线段AB的中点．不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．

2x2－4x＋3＝0，∵Δ＝16－4×3×2＝－8＜0，∴此直线与双曲线无交点，与假设矛盾．

故这样的直线不存在．

【防范措施】点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的快捷方法，但点差法使用的前提是以该点为中点的弦的斜率必须存在，因此利用此法求出弦所在直线方程时，必须要验证直线是否与曲线相交，即要验证判别式Δ的符号．

【参考答案】存在这样的直线l，其方程为2x＋4y－3＝0．

五、忽视特殊性、判断直线与圆锥曲线的位置关系致误

【例5】已知点A（0，2）和双曲线4x2－y2＝4，则过点A（0，2）可作几条直线与双曲线有且只有一个公共点？

【错因分析】本题在设出直线方程与双曲线方程联立消元后，对方程的处理容易出错，容易忽视此方程的二次项系数为0的特殊情形，同时也容易忽视过点A（0，2）可向双曲线的两支作切线．

【正确解析】由题意可知直线的斜率必存在，故可设直线方程为y＝kx＋2，代入4x2－y2＝4，整理得（4－k2）x2－4kx－8＝0．

（1）当4－k2＝0，即k＝±2时，直线平行于渐近线，与双曲线只有一个公共点．

（2）当4－k2≠0，即k≠±2时，令Δ＝（－4k）2－4（4－ k2）（－8）＝0，解得，此时直线方程为，与双曲线相切．故过点A（0，2）可作4条直线与双曲线有且只有一个公共点．

【防范措施】解决过定点的直线与双曲线位置关系问题的基本思路有两个，一是将直线方程与双曲线方程联立消元后，对所得方程进行讨论，要特别注意二次项系数为零的特殊情形，当二次项系数不为零时，借助判别式来讨论位置关系；二是利用数形结合思想，借助示意图来判断位置关系．在直线与圆锥曲线的位置关系中，双曲线和抛物线都有特殊情形，要特别注意．

【变式训练】过点A（4，0）的直线与抛物线：y2＝－4x有且只有一个公共点，求直线的斜率k．

六、忽视直线斜率是否存在致误

【例6】在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且点P在圆上运动．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过定点C（－1，0）的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【错因分析】在解答本题时有两点容易造成失分：一是在构建方程及解方程的过程中，进行字符运算时容易失分；二是第（2）题中的求解过程中，忽视对斜率k的讨论而失分，常常出现会而不对、对而不全的情形．

【防范措施】（1）在加强思维能力培养的同时，还要重视运算能力的训练，平时要养成认真细心的运算习惯．（2）凡涉及直线与曲线的位置问题，只要直线的斜率不确定就要进行分类讨论，考虑斜率是否存在．当然，若直线在x轴上的截距为常数n时，也可以将直线方程设为x＝my＋n（m为参数），则可避免讨论斜率是否存在．

七、忽视判别式致误

【例7】已知中心在原点的双曲线的右焦点为（2，0），右顶点为，若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，，且（其中O为原点），求k的取值范围．

【错因分析】容易忽视直线与椭圆相交需满足消元以后的一元二次方程的Δ＞0．

【防范措施】解决直线与椭圆相交问题时，以下几点容易造成失分：（1）联立方程组前没能将方程中字母量减到最少，致使联立方程过多而失分；（2）忽视直线与椭圆相交需满足消元以后的一元二次方程的判别式Δ＞0这一条件而失分．

【变式训练】直线l：y＝kx＋1，与双曲线2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，求实数k的取值范围．

解决有关圆锥曲线的问题时，常常要根据曲线的几何性质，把曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等关系、函数等），还要重视数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的应用。圆锥曲线内容对思维要求高，运算量大，所以失分也就多，除因知识点原因失分外，还要注意运算不过关也是失分的一大因素，所以在特别关注以上一些容易失分节点的同时，也还要高度重视数学运算能力的训练，平时要养成认真审题、细心书写的良好运算习惯，这也是减少失分的一个因素。高考数学不易，圆锥曲线部分得满分不易，愿同学们且学且珍重。

（作者单位：甘肃省临泽县第一中学）