几何定值题求解很有趣

张祥梅　华兴恒

当平面图形中的一些几何元素在一定条件下变动时，与变动元素有关的某些几何量的值仍保持不变，求出这些不变的值，这就是几何中的定值问题.求解定值问题常用的基础知识有：（1）同（等）底等（同）高的三角形面积为定值；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧长或弦长为定值；（3）圆幂定理中，若切线长不变，则割线两部分之积为定值；（4）两条对角线为定长的平行四边形的各边平方和为定值；（5）在已知线段的同侧，且对线段两端点所张的角大小不变的各点，在过这线段两端点的同一个圆上.若能巧妙而灵活地利用上述结论求解定值问题，常常会使问题简单获解.下面举例说明，希望能够对同学们有所启迪.

例1如图1，在△ABC中，AB=AC，过BC上一点D作BC的垂线分别交两腰所在的直线于E、F.求证：DE+DF为定值.

分析由等腰三角形ABC及DF⊥BC于D，可以得当动点D到达BC中点H时，可确定所求值为2AH.

证明过A作AH⊥BC于H，则△BDE∽△CDF∽△BHA，

所以DEAH=BDBH，DFAH=DCBH，所以DE+DFAH=BD+DCBH=2，

所以DE+DF=2AH，而AH为定值，所以DE+DF为定值.

点评几何中的定值问题，有时通过寻找几何图形的特殊位置，进而寻求不变量，这是求解此类问题常用的行之有效的方法.图2

例2如图2，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=.

解析求解本题可采用特殊值法，即当点P与A或D重合时，如图3，PE与PF的和变成△ADC的高DF，即为定值.

图2中，连结PO，作DM⊥AC于M，则S△AOD=S△APO+S△DPO，

所以S△AOD=12AO·PF+12DO·PE.图3

因为在矩形ABCD中，AO=DO，所以S△AOD=12AO·（PE+PF），

而S△AOD=12AO·DM，所以PE+PF=DM.

在Rt△ADC中，AD=12，DC=5，所以AC=52+122=13，

所以DM=AD·DCAC=12×513=6013，即PE+PF=6013.

例3设C为定圆上定弧AB的中点，P为AB上任意一点，且C与P不在直线AB的同侧，求证：PA+PBPC为定值.

解析先探求定值，可用特殊位置法寻找.

由于点P为AB上任意一点，所以可考虑点P与点A重合，则会有PA+PBPC=ABAC，而A、B、C为定点，则AB、AC为定值，所以题中定值可能为ABAC.图4

第二步，证明定值.如图4，

在AP的延长线上取点E，使PE=PB，连BE、BC，则有∠BAP=∠BCP，AC=BC.而C为AB的中点，所以∠APB=2∠CPB.

又PE=PB，则∠PBE=∠PEB，而∠APB=∠PBE+∠PEB，即∠CPB=∠PEB，从而知△ABE∽△CBP，得AEPC=ABBC，即PA+PBPC=ABAC为定值.图5

例4M、N是以AB为直径的半圆上的两点，且∠MAB=45°，∠NBA=60°，动点P在直径AB上移动.求证：tan∠AMP·tan∠BNP是定值.

解析根据题目条件，画出相应的图形，M、N的位置如图5所示.解决定值问题，首先要探求定值，为此可采用特殊位置法.图6图7

当点P在圆心时，如图6，△BPN和△APM都是等腰三角形，则tan∠AMP·tan∠BNP=tan∠A·tan∠B，即tan45°·tan60°=3.所以通过特殊位置法探求出定值为3，并理出了解题思路.

要证明tan∠AMP·tan∠BNP=tan∠A·tan∠B，如图7，连结BM、AN，过P分别作PC⊥AM于点C，PD⊥BN于点D.而AB为直径，

所以∠AMB=∠ANB=90°，所以PC∥BM，PD∥AN.

所以由平行线分线段成比例定理，得ACCM=APPB，BDDN=PBPA，将两式相乘，得ACCM·BDDN=1.

由正切的定义，得tan∠AMP=PCCM，tanA=PCAC，tan∠BNP=PDND，tanB=PDBD，

所以tan∠AMP·tan∠BNP=ACMC·tanA·BDND·tanB=tanA·tanB=tan45°·tan60°=3.图8

例5如图8所示，已知∠POQ=90°，点A、B分别在射线OP、OQ上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线相交于点C，求证：∠ACB的大小为定值.

解析由于∠ACB是△ABC的一个内角，所以可利用三角形的内角和定理以及内、外角平分线的定义直接计算∠ACB的大小.

因为∠BAC+∠ABC=12∠OAB+∠OBA+∠OBC=12∠OAB+∠OBA+12（180°–∠OBA）=12（∠OAB+∠OBA）+90°=12×90°+90°=135°，

所以∠ACB=180°–（∠BAC+∠ABC）=45°（定值）.

练习

1.如图9，在等边△ABC内取点O，作BC、CA、AB的垂线OM、ON、OP，垂足分别为M、N、P.若此三角形的周长为6，求OP+OM+ON.图9图10

2.如图10，OA、OB为⊙O任意两半径，过B作BE⊥OA，垂足为点E；再过点E作EP⊥AB，垂足为点P，若⊙O的半径为r，求OP2+EP2.

3.如图11，已知等边三角形ABC内接于单位元（即半径为1），P是⊙O上的任意一点，求PA2+PB2+PC2的值.图11图12

4.如图12，在正方形ABCD外接圆的AD上任取一点P，求证：（PC+PA）∶PB为定值.

参考答案

1.可用面积法，求出OP+OM+ON等于△ABC的高，即OP+OM+ON=3.

2.过点O作OC⊥AB，垂足为点C，则有AC=BC，OP2=OC2+CP2，EP2=AP·PB，

所以OP2+EP2=OC2+CP2+（AC–CP）（BC+CP）=OC2+CP2+（AC–CP）（AC+CP）=OC2+AC2=OA2=r2.

3.由余弦定理得PB2+PC2+PB·PC=BC2，再由托勒密定理得BC·PA=PB·AC+PC·AB，而AB=BC=AC，所以PA=PB+PC.

所以PA2+PB2+PC2=（PB+PC）2+PB2+PC2=2（PB2+PC2+PB·PC）=2BC2.

而BC=3，所以PA2+PB2+PC2=2BC2=2×（3）2=6.

4.连结AC，过点A作AE⊥PB，垂足为点E.

因为∠AEB=∠APC=90°，∠ABE=∠ACP，

所以△ABE∽△ACP，所以PAAE=PCBE=ACAB，而∠APB=∠ACB=45°，∠AEP=90°，所以AE=EP.

所以PA+PCAE+BE=PA+PCPE+BE=PA+PCPB=ACAB=2，即（PC+PA）：PB为定值.