正三角形性质补遗

2016-03-18 05:52杨云奎
中学数学杂志(初中版) 2016年1期
关键词:正三角形三边过点

杨云奎

如图1,△ABC为正三角形,P为其内部任一点,过点P分别向三角形的三边作垂线,垂足分别是D、E、F,连接PA、PB、PC.

文[1]通过研究得出:

(1)AF+BD+CE=FB+DC+EA;

(2)正△ABC被分成了6个直角三角形,这6个直角三角形的内切圆

半径依次记为r1、r2、r3、r4、r5、r6,则r1+r3+r5=r2+r4+r6.

笔者在文[1]研究的基础上又发现了三条新的结论,权作补遗.

性质1AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2;

性质2四边形AEPF、四边形BFPD与四边形CDPE都是圆内接四边形,且四边形外接圆圆心恰是一个正三角形的三个顶点;

性质3记△PBD、△PDC、△PCE、△PEA、△PAF、△PFB的面积分别为S1、S2、S3、S4、S5、S6,则S1+S3+S5=S2+S4+S6.

证明1.如图1,因PD、PE、PF分别垂直于BC、CA、AB,所以△AFP、△FBP、△BDP、△DCP、△CEP、△EAP都是直角三角形.

由勾股定理:AF2+BD2+CE2=(PA2-PF2)+(PB2-PD2)+(PC2-PE2)

=(PA2+PB2+PC2)-(PD2+PE2+PF2),①

FB2+DC2+EA2=(PB2-PF2)+(PC2-PD2)+(PA2-PE2)

=(PA2+PB2+PC2)-(PD2+PE2+PF2),②

比较①、②两式,即得:AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2.图2

2.如图2,取PA的中点记为O1,因PE、PF分别垂直于CA、AB,

所以△AFP与△AEP是直角三角形.于是有O1A=O1P=O1E=O1F.

故点A、E、P、F四点在以O1为圆心,O1A长为半径的圆上.即四边形AEPF内接于⊙O1.

取PB、PC的中点O2、O3,类似地可以证得:四边形BFPD内接于⊙O2,四边形CDPE内接于⊙O3.

因O1、O2、O3分别是PA、PB、PC中点,所以O1O2、O2O3、O3O1分别是△PAB、△PBC、△PCA的中位线,所以有O1O2=12AB,O2O3=12BC,O3O1=12CA,因△ABC是正三角形,所以AB=BC=CA,从而O1O2=O2O3=O3O1,所以△O1O2O3是正三角形.图3

3.如图3,过点P分别作AB、BC、AC的平行线,与△ABC三边AB、BC、CA交点是R、M、Q、S、N、T.

记△PBQ的面积为S11,△PQD的面积为S12,△PDS的面积为S21,△PSC的面积为S22,△PCN的面积为S31,△PNE的面积为S32,△PET的面积为S41,△PTA

的面积为S42,△PAR的面积为S51,△PRF的面积为S52,△PFM

的面积为S61,△PMB的面积为S62.

显然:S1=S11+S12,S2=S21+S22,S3=S31+S32,

S4=S41+S42,S5=S51+S52,S6=S61+S62.

由MN∥BC,QT∥AB,RS∥AC知:四边形MBQP、NPSC、ARPT

都是平行四边形,因平行四边形的对角线平分其面积,于是有:S11=S62,S31=S22,S51=S42.

因△ABC是正三角形且MN∥BC,QT∥AB,RS∥AC易得:△PQS、△PNT、△PRM都是正三角形,而PD、PE、PF分别是正三角形△PQS、△PNT、△PRM的高,所以PD、PE、PF分别等分△PQS、△PNT、△PRM的面积.即:S12=S21,S32=S41,S52=S61.

从而S11+S12+S31+S32+S51+S52=S62+S21+S22+S41+S42+S61.

也就是:S1+S3+S5=S2+S4+S6.

参考文献

[1]吕伟波.正三角形的两个有趣性质[J].中学数学杂志,2015(6):40.

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