韩信立马分油问题的三种策略

张安军

韩信立马分油问题.相传汉代军事家韩信一天访友归来，途中经过一集市，遇见卖油翁与顾客争执.买者想买5斤油，而卖者无法计量，因而告诉买者，要么买3斤，要么买7斤.韩信询问得知，卖油翁油娄中的葫芦恰好装有10斤油，但他仅有装3斤和7斤的葫芦，而买者执意要买5斤油.韩信立在马上稍加思索道：“你们无须再争，以我之法保你们都满意.”韩信下马经过几次倒油，买卖双方皆大欢喜.你知道，韩信是怎么倒油吗[1]？

策略一摸着石头过河，盲目拼凑

在解决这个问题时，你可能尝试着拼凑，运气好的话，你或许可以很快地凑成功，当然这种成功有着偶然性，犹如摸着石头过河，凭感觉，缺乏目标，尝试操作时间久一些，有可能拼凑成功，如下表1：

策略二正难则反，从结果中逆推

然而这样的操作是有几分偶然性和盲目性，倘若中间凑不成功，那么又要从头开始.如果我们调整一下策略，从结果开始，逆推进行，从上面的表格中可以发现最后三个容器的状态分别为5、5、0斤.由于每次倒油，从上表中可以发现这样一个有趣的现象，就是在这三个容器中至少有一个容器被倒空，或被倒满，不会出现三个容器都同时有油但未满的状态；有了这条规则，在逆推的过程中，同时还要关注倒油前后的等价性，即第（n+1）次←→第n次，如下

从结果逆向思考，可以减少倒油过程的盲目性，又可以最小的次数达到符合要求的操作，如上表从结果逆向最小需要9次就可.从中可以得到启发，考虑问题思维不要单向度，正难则反，执果溯源，确定解题的方向.

策略三化无形为有形，利用图象解决

上述的10斤、7斤、3斤的葫芦为了方便起见，把它们分别记作1、2、3号葫芦，刚开始时，1、2、3号葫芦分别是10斤、0斤、0斤，用数学符号记作（10，0，0），由于不管如何操作，1、2、3号葫芦所装的油的总和为10斤，即（z，x，y）中x+y+z=10，当x，y，z中有两个量确定时，第三个量也唯一的确定，因此可以用三个数中的两个数表示问题中的量，不妨用2、3号的葫芦表示，如（7，3）表示2、3号葫芦所装的油分别为7斤、3斤，推广之（x，y）表示2、3号葫芦所装的油分别为x斤、y斤（0≤x≤7，0≤y≤3，x，y为整数），这样可以在直角坐标系中表示（x，y）中的点，横坐标表示2号葫芦所装的油，纵坐标表示3号葫芦所装的油，坐标的单位表示装油的斤数.图1

为了从形中探寻规律，现把表3中7、3斤装的葫芦斤数组成横、纵坐标的点表示在图1中，从点（0，0）开始，结束点为（5，0），点与点之间用箭头表示，依次连接，可以发现在长为7、宽为3的长方形的边上组成45°或90°夹角，但缺乏规律，为了寻求规律，如图2，采用倾斜角为60°的斜坐标，同样以横坐标表示7斤葫芦所装的油，斜坐标表示3斤葫芦所装的油，坐标的单位仍表示装油的斤数，可以最外围的四边形如同入射光线碰到平面镜要进行反射，从（0，0）出发，第1次反射只有两种可能，（7，0）或（0，3），不妨从（0，0）开始第1次入射点为（7，0），如图2，最后只要到达（5，0）需要9次，如果从（0，0）开始第1次入射点为（0，3），如图3所示，需要12次.

有了图象法解决倒油问题，这类问题就变得轻松、简单，和韩信立马分油相类似的有泊松倒酒趣题，据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：某人有12品脱啤酒一瓶，想从中倒出6品脱.但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器.怎样的倒法才能使8品脱和12品脱的容器中恰好各装6品脱啤酒[2]？亲爱的读者相信你也会解决此类问题.

参考文献

[1]王青建.数学开心辞典[M].北京：科学出版社，2008：130.

[2]李原.泊松趣题的启迪[J].数学学习与研究，2012（5）：36.