2015年的初中数学竞赛已落下帷幕,笔者对各类竞赛题的收集与整理、学习与研究饶有兴趣,纵观今年各类竞赛题,试题精彩纷呈,创新不断,无不凝结着命题人的智慧与汗水.在赞叹与感慨之余,对2015年全国初中联合试题进行再次学习时发现(初三二试)最后一题尚有商榷之处,下面就这道竞赛题谈几点自己的思考,望各位同仁不吝指教.
1 题目
(2015年初中联合竞赛试题初三.二试第三题)设正整数m,n满足关于x的方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个正整数解,证明:2(m2+n2)<5mn.
2几点思考
思考1——商榷之处
根据题意m,n是正整数,如果方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个正整数解,即当x,m,n是正整数时,等式(x+m)(x+n)=x+m+n是不能成立的.实际上,当x,m,n是正整数时,(x+m)(x+n)>x+m+n.下面对这一不等式进行证明.
证明因为(x+m)(x+n)-(x+m+n)=x2+mx+nx+mn-x-m-n
=(x-1)(x+m+n)+mn,
由于x,m,n是正整数,所以(x-1)(x+m+n)+mn≥mn>0,
即(x+m)(x+n)-(x+m+n)>0,于是(x+m)(x+n)>x+m+n.
既然(x+m)(x+n)>x+m+n,那么方程(x+m)(x+n)=x+m+n无解,所以要证明原题的结论是不可能的.
思考2——试题如何改编
经过上面的分析发现,方程(x+m)(x+n)=x+m+n无解是由于x,m,n是正整数所致,为了尽可能保留试题原貌,把如果方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个正整数解的“正整数”,改为“整数”,对原试题进行改编并分析解答.
思考3——改编后如何解答
改编后试题为,设正整数m,n满足关于x的方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个整数解,证明:2(m2+n2)<5mn.
分析从题目看是要证明一个不等式,其方法有分析法,综合法.结合题目条件,方程(x+m)(x+n)=x+m+n至少有一个整数解,必须要使得方程所对应的判别式为完全平方数,由此为突破口进行推理分析,则问题迎刃而解.下面对改编试题进行解答.
证明由方程(x+m)(x+n)=x+m+n得,x2+(m+n-1)x+mn-m-n=0,①,其判别式Δ=(m+n-1)2-4(mn-m-n)=(m+n)2-4mn+2(m+n)+1=(m-n)2+2(m+n)+1,
令m≥n,根据题意方程①至少有一个正整数解,所以Δ应为完全平方数.
Δ=(m-n)2+2(m+n)+1=(m-n+1)2+4n>(m-n+1)2,
同时Δ=(m-n)2+2(m+n)+1=(m-n+3)2-(4m-8n+8).
如果4m-8n+8>0,即m>2n-2,则Δ<(m-n+3)2,
于是(m-n+1)2<Δ<(m-n+3)2,所以只能Δ=(m-n+2)2,
即(m-n)2+2(m+n)+1=(m-n+2)2,整理得m=3n-32,这与m,n是正整数矛盾.
如果4m-8n+8<0,即m<2n-2,于是可得m<2n,所以mn<2.
又mn>1>12,于是(mn-12)(mn-2)<0,整理得2(m2+n2)<5mn,即证.3结束语
尽管经过小小的变动,才让这道竞赛题得以圆满解决,然而瑕不掩瑜,放眼整道试题,其蕴含的方程思想,分类讨论思想无不引领着试题对学生的数学思想的考查;分析、推理的论证方法更是对学生的思维能力提出了较高的要求;综合运用知识、变形运算的技巧也是对学生扎实基本功的考验.作者简介杨虎,男,甘肃礼县人,1983年2月生,讲师.发表论文多篇.