精彩演绎完美追求

王修燕　李明方

【摘要】如何应用具体图形在转化等思想方法的引领下，上好圆锥的应用题，是一个值得深入研究的问题.结合同课异构的课例，从“课例引入”、“解法探究”、“课例变式”、“小结与反思”4个方面进行研究与探讨，认为在课堂教学中，应把基本的数学思想方法与知识、技能融于一体，使学生在学习知识和技能的同时，领悟到一定的解题思路和思想方法，从而真正提高学生的解题能力.

【关键词】同课异构；圆锥应用题；冰淇淋圆筒

2015年10月22日赣榆区教研室在我校举行了青蓝工程数学活动，六位老师上了一节同课异构的数学活动课，教师的精彩演绎，同学的完美追求给我们听课老师留下了极其深刻的印象，现以课本习题为例说明如下：图1图2

苏科版九年级（上册）“59圆锥的侧面积和全面积”中，教材设计了一个“数学活动”——制作冰淇淋纸筒（如图1）.教材要求制作一个母线长为12cm，底面圆的半径为4cm的圆锥形冰淇淋纸筒.

通过计算很容易得到展开后的扇形的弧长为8π（cm），圆心角为120°，面积为48π（cm2）

对于本题来说，设计方案应该多种多样，不拘一格。我有幸听了几节同课异构的研讨课，所以有机会对本题做较多的思考，尤其对学生解答中的丰富的

解题思路有了较多的了解，从而引发对平时的数学教学工作进行了回顾和反思.

鉴于此题背景源于课本，植根于课堂，故本文就这个问题再做一番探讨，以便就教于同行.

从节约原材料角度考虑，我们可以用一个半径为12cm的圆纸做原材料，在每一个圆纸上可以截出3个全等的扇形，从而制作3个冰淇淋纸筒，这种方案无疑是最便捷，也是最省料的（原材料利用率为100%）.（这里我们暂不考虑粘贴部分的用料和其它因素，下同）.

但我们发现要制作这样的材料所需要的花费也应该是相当可观的，其实原材料利用率也并非为100%。

如果原材料都是圆形角料（每一个原材料只能截出一个图2中的扇形），如图3，那么以弦AC为直径作⊙E，不难求出该圆形角料的半径至少为AE=63cm，面积为108πcm2.这种方案原材料利用率为48π108π≈44%.

当然，上面解决问题的方法虽然简洁明了，但不一定符合命题者设计的思路.笔者认为，作为教师的话，倒是觉得是非常有必要去研究的.教师站的高，看的远，才能把握好教学的分寸.

如图4，我们在长方形原材料中对称地制出一个扇形，扇形的圆心O在长方形一边AD的中点，弧与长方形的另一边相切于中点E，则宽AB=OE=12cm，长AD=2·OA=123≈20（cm），这种方案原材料利用率大约为63%.

如图5，我们将扇形的半径OD放在长方形的一边AD上，弧与长方形的另两边分别相切于点D、E，则宽AB=OE=12cm，OA=12OF=6cm，所以长AD=18cm.因此，将原材料切成长18cm、宽12cm的长方形，其面积为18×12=216（cm2）.这种方案原材料利用率大约为70%，远远优于如图4的方案.

我们知道，平面可以由许多全等的四边形镶嵌而成，因此，我们可以考虑将原材料改选为如图7所示的四边形原材料（其中AE、BE都是⊙O的切线，OA=12cm，AE=123cm），S四边形OAEB=12×123=1443（cm2），此时原材料利用率为大约60%.

在实际加工原材料时，我们可以采用“套制”的方法提高原材料利用率，譬如按图8的方式先套制出图7中的“半成品”材料，这样可大大提高原材料利用率（可达80%）.

拓展

我们假设在上述制作过程中的余料上再截出一个圆形材料，使这个圆形材料恰好能作为冰淇淋纸筒的封盖，又该如何操作呢？

如图9，在3块余料中，我们不难知道，在Rt△AOF中所截出的内切圆最大.在Rt△AOF中，AO=6，AF=63，OF=12，其内切圆的半径为r=6+63-122<4（cm），因此，在图5的余料中，无法再截出一个恰好能作为冰淇淋纸筒封盖的圆形材料.

我们不妨保持宽CD不变，而增加原材料的长度，假设从余料中恰好能截出一个作为冰淇淋纸筒封盖的圆形材料，如图10，连结OO′、OK′、HO′、GO′（O′为圆形材料的圆心，K、H、G都是切点），因为KA=GO′=4，OK=43，所以长方形原材料的长AD=12+43+4=（16+43）（cm）.这时原材料利用率=48π+π-4212-（16+43）≈73%.

从上面的过程来看，解决这个问题不仅需要用到直角三角形以及与圆相切性质这一数学核心知识，更需要学生有较强的洞察力，甚至耐心和细心.自然，平时的解题经验在这儿起着至关重要的“支点”作用.