例谈从“最近发展区理论”下设计教学案例

武绍丽

摘 要：最近发展区理论是苏联教育家维果茨基提出的，其认为学生在已掌握知识和未掌握知识之间存在需要教师引导的区域，教学的作用恰是在这样的区域中进行教学的设计、引导学生学习.

关键词：最近发展区；数学；教学；一元二次；不等式；设计

苏联教育家维果茨基在多年教学研究中发明了最近发展区理论，这给当时的苏联教学给出了一定的指导作用. 其教育理论的核心思想是明确研究了介于学生已经掌握知识和未能掌握知识之间的知识“空白地带”，该理论认为学生可以通过教师的合理设计、精心准备，将这些属于“跳一跳”可以触摸的知识传授给学生，即在最近发展区理论下进行教学的设计.

从当下数学教学的现状来看，教师一直是以这样的方式进行数学教学的设计，从知识复习巩固——新知教学——课堂小结，这是当下课堂教学设计的主要流程. 但是，在这种总体框架下的具体教学设计还是有区别的，笔者以为做到符合发展区理论下的数学课堂教学设计需要符合几个标准：

（1）设计自然：符合最近发展区的课堂教学设计自然，既需要对任教学生有扎实的学情了解，又需要对教材做合理的符合学生水平的预期设计，既承接前期学过的知识，又对后续新知有合理的过渡；

（2）循序渐进：最近发展区对于学生个体而言又存在着不同，这里的设计需要按照学生均衡程度去处理教学设计，即循序渐进的原则，这样的最近发展区较为符合学生认知心理；

（3）留有余地：教师忌任何问题面面俱到、细微不至，如果将学生的最近发展区“填满”，学生成长的空间就显得比较小. 本文结合笔者设计的《一元二次不等式》做一番设计.

[?] 内容解析

一元二次不等式及其解法（三）是人教版《数学》（必修5）第三章第2节的第三课时，本节课的学习是对前面一元二次不等式解法的进一步延伸与拓展，以一元二次不等式中的含参问题和恒成立问题为载体，培养学生化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想，旨在强化对一元二次不等式及其解法的深刻理解与应用.

[?] 学情分析

1. 最近发展区

通过前面两个课时的学习，学生已经掌握了一元二次函数图象、一元二次方程的根以及一元二次不等式的解集三者之间的关系，并且能求一元二次不等式的解集，以及解决一些简单的含参问题，并对求解含参一元二次不等式时的分类讨论思想有了一个初步的认识.

因此前面的学习为本节课教学内容的顺利进行奠定了一个良好的基础，为学生能力的提升搭建了一个良好的平台.

2. 能力储备区

由于不等式问题的综合性较强，更加注重对能力的考查，因此，虽然有了前面的基础，但对于学生来讲，这始终还是一个难点，很多学生对于含参不等式中参数的处理往往把握不准，找不到合适的解法，或者分类讨论时很混乱，无法准确找到分类的标准，从而使解题陷入困境.

[?] 策略分析

通过以上对本节教学内容的重难点、学生学情的分析，以及所要达成的学习目标，特对本节课的教学做如下安排：

1. 通过热身训练、知识梳理、能力提升三个环节对一元二次不等式前2个课时进行复习巩固；

2. 通过引导分析来解决问题2以及变式2，从而掌握由不等式解集求解参数的值或取值范围这类题型的解法要领；

3. 通过“思考与探究”环节，让学生通过观察、讨论、自我归纳等方式，完成对不等式恒成立条件的探索，再由教师进行归纳小结；

4. 对于本节课中重难点的处理，主要采取“学生思考——教师分析（引导式）——学生解题——教师点评”的策略，以学生为中心，教师当好“导航仪”，组织学生进行独立思考，最后由教师进行点评，归纳出本节课的核心知识；

5. 通过跟踪检测环节来了解学生对本堂课知识点的掌握情况，以便教师及时进行查漏补缺，以此进一步巩固知识；

6. 通过方法提炼环节，师生一起回顾总结，梳理本节课所学知识点及思想方法，深化认知. 教学方法：自主探究，引导分析，点评归纳，层层建构.

[?] 具体实施

1. 复习巩固

问题1：求解关于x的不等式x2-2mx-2m-1>0.

解析：因为Δ=4（m+1）2≥0，故不等式化为：[x-（2m+1）]（x+1）>0，

所以x1=-1，x2=2m+1，且x2-x1=2（m+1），

①当m=-1时，不等式为：（x+1）2>0，解集为{x

x≠-1}；

②当m>-1时，2m+1>-1，解集为{x

x>2m+1或x<-1}；

③当m<-1时，2m+1<-1，解集为{x

x>-1或x<2m+1}.

设计意图：通过复习巩固，让学生最快进入到学习状态，同时更有效地复习了前面课时内容的重难点——求解含参不等式，同时也为本节课的学习做铺垫.

2. 能力提升

【变式1】 解关于x的不等式mx2+（1-m）x-1>0.

解析：（Ⅰ）当m=0时，不等式化为x-1>0，即解集为{x

x>1}.

（Ⅱ）当m≠0时，Δ=（1+m）2≥0，所原不等式可化为：（mx+1）（x-1）>0，

所以x1=-，x2=1，且x2-x1=1+=，

①当m>0时，-<1，解集为{x

x< -或x>1}，

②当m=-1时，不等式化为-（x-1）2>0，解集为 ，

③当-11，解集为{x

1

④当m<-1时，-<1，解集为{x

-

设计意图：该题在复习巩固的基础上，引导学生进入更高一级的“最近发展区”，即对二次项系数进行讨论的一元二次不等式，旨在强化学生的分类讨论思想，通过求解含参不等式，掌握分类思想的要点，争取做到分类明确，不重不漏，并为后面解决恒成立等综合问题做准备.

3. 深度发展

问题2：已知不等式x2-2mx-2m-1>0的解集为（-∞，-1）∪（15，+∞），求m的值.

解析：由题意可知：-1和15是方程x2-2mx-2m-1=0的根，代入方程解得：m=7.

【变式2】 若不等式x2-14x-15<0的解满足不等式2x2-9x+m<0，求实数m的取值范围.

解析：由上可知：{x

-1

f（15）≤0，所以2+9+m≤0，

450-135+m≤0，解得：m≤-315.

设计意图：问题2及其变式2的设置，旨在让学生体会一元二次不等式解集与一元二次方程之间的关系，并能从不等式的解集求出参数的值或取值范围. 这里的深度发展，是符合学生从参量讨论到不同情况下的讨论更进一步.

问题3：对于一切实数x不等式x2-2mx+2m+1>0恒成立，求m的取值范围.

解析：要使不等式恒成立，只需Δ=（2m）2-4（2m+1）<0，即1-

【变式3】 对于一切实数x不等式mx2-2mx+2m+1>0恒成立，求m的取值范围.

解析：（1）当m=0，1>0成立；

（2）当m≠0时，

m>0，

Δ=（2m）2-4m（2m+1）<0，解得：m>0.

综上可得：m≥0.

设计意图：问题3是对前面“思考与探究”中有关恒成立条件的直接应用，该题相对比较简单，主要由学生独立完成；而变式3在问题3的基础上递进了一层，需要对二次项系数进行分类讨论，先由学生试做，教师观察情况，再做点评.这种循序渐进的方式符合最近发展区理论.

思考题：设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足10，求实数a的取值范围.

[?] 思考小结

本设计从学生固有知识出发，将解不等式问题延伸至学生“触手可及”的反向解决参数和恒成立问题，这种设计缘自教材又高于教材，对学生而言也比较符合应试的准则. 从本课设计的问题而言，主要力主学生：（1）解含参不等式时一定要注意分类讨论，即①讨论二次项系数；②讨论判别式Δ的符号；③当Δ>0时，讨论方程两根x1，x2的大小关系. （2）已知不等式的解集求参数时，一定要抓住解集的端点就是对应方程的根. （3）处理一元二次不等式恒成立问题时，一定要抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，或用最值分析法，或用参数分离法，或用转换主元法.

从最近发展区理论实践的角度来说，笔者也收获了下面的一些想法：

1. 本堂课主要抓住了解不等式问题中的常见类型并加以练习，把方法的选择总结和提炼为线索作为整节课的主干，分别对分类讨论法，最值分析法、参数分离法等方法进行重点剖析，但这是一个自然过渡的过程；

2. 在本节课的重难点处理上，主要采取“学生思考——教师分析（引导式）——学生解题——教师点评”的策略，以学生为中心，教师当好“导航仪”，这种循序渐进的过程恰是最近发展区理论最恰当的教学体现；

（3）在例题及其变式的设置上，可谓是精心准备，编排上更是层层递进，整个过程尤其注重对数学思想方法的应用，对数学本质的理解. 并在最后给出思考留有余地，引导学生自身不断加深对更深知识的理解和追求.