不等式的恒成立问题研究

2016-03-10 03:02陈维正
中国校外教育 2016年35期
关键词:道题最值题型

◆陈维正

(沈阳市第二十中学)

不等式的恒成立问题研究

◆陈维正

(沈阳市第二十中学)

不等式恒成立问题是贯穿整个高中数学的内容,也是高中数学的重点和难点,题目形式变化多端,解法也灵活多变。通过对不等式恒成立问题的梳理,把高中阶段涉及到的题型和方法做了归纳总结,并就容易犯错的地方做了提醒和分析。

不等式 恒成立 数形结合

一、不等式恒成立问题的形式

我们看看2008年上海高考试卷上的一道题,也是最常见的不等式恒成立问题,描述是这样的,已知函数:

这里都是不等式在区间上的恒成立问题,我们有时还会遇到更简单一些的形式,我们称为一般的不等式恒成立问题,还是以这个例子做一些改编:

综合上面所有形式我们发现,不等式恒成立问题都可以这样理解:不等式的解集是集合D的子集,我们就说不等式在D上恒成立。这个D可以是一个区间,也可以是整个实数集合R。

二、不等式恒成立问题的处理方法

1.图像法(数形结合思想)

对于不等式恒成立问题,我们可以把不等式看成是函数值恒大于(小于)某个数值,也就是函数图像在某条平行于x轴的直线上方(下方),这样可能有比较方便的方法。

这个方法适用两种题型:二次不等式在R上恒成立问题和两不等式恒正(负)的问题。

(1)二次不等式在R上恒成立问题

(2)两不等式恒正(负)的问题。

这类题型不是很常见,但是在2012年浙江的高考题里面出现过一次,作为填空的压轴题,当年这道题得分率很低,很多同学都不理解题目的意思。我们一起来回顾一下这道题:

2.最值法(化归与转化思想)

最值法的原理与下面两个命题成立有关:

最值法有两个分支:①直接求最值法;②分离参变量求最值法。

(1)直接求最值法

根据上面的两个命题,所有的不等式恒成立问题,都可以转化成求函数的最值问题,求函数的最值我们有非常多的方法:单调性、导数、不等式,等等。高中接触最多的是二次不等式的求最值问题,也是一个难点,我们以一个二次不等式的例子说明:

例1.关于x的不等式x2+mx+6m<0的解集包含区间(1,2)时,求实数m的范围。

分析:这道题是我们前面描述过不等式恒成立问题中的一种,出现不等式解集包含另一个集合问题就是恒成立问题。我们这里采用求最值的方法求解。

点评:这道题是二次不等式的恒成立问题,由于是在区间上恒成立的,不能采用前面的判别式法。同样,也不能采用后面描述的分离参变量法,基本上只能使用最值法。

(2)分离参变量法

直接求最值的方法固然是万能的,但是函数解析式里面有参数的情况下求最值是不容易的一件事情。很多时候需要分类讨论,加上大量的字母运算。如果能把参数和变量分离开来,这个问题就解决了。

三、恒成立问题解答的常见错误

通过对前面恒成立问题的分析,我们掌握了基本的方法和套路,但是这些方法在使用的过程中容易受到一些题目条件的影响。下面列举几种常见的错误:

1.原理性错误

2.边界性错误

前面那道例题已经说明了,在不等号取不取等号的问题上,大家要多注意。如果函数的最值是取不到的,那么这个不等号可以加上等号。另外,如果区间是开的,也就是自变量是取不到的,那么在边界处也是可以取等号的。其它情况,根据原来不等式符号决定是否取等号。

[1]张世林,郭东风.与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J].数学教学研究,2006,(12):27-30.

[2]刘卫东.一类不等式恒成立问题的错误解法[J].数学通讯,2008,(13).

[3]张鹤.用分离变量法解含参数的不等式恒成立问题[J].高中数理化,2006,(01):18-19.

[4]李新星.含参数不等式恒成立问题[J].数学教学通讯,2011,(32):28-29.

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