建构数学模型解决生物问题

◆王紫惠

(河北乐亭第一中学)

建构数学模型解决生物问题

◆王紫惠

(河北乐亭第一中学)

数学是一门工具学科，在高中的物理与化学学科中广泛地应用。在生物学科教学中，构建数学模型，对学生的理科思维培养也起到一定的作用。

数学模型 高中生物 理科思维

一、高中生物教学中的数学建模

数学是一门工具学科，在高中的物理与化学学科中广泛的应用。由于高中生物学科以描述性的语言为主，学生不善于运用数学工具来解决生物学上的一些问题。这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。在生物学科教学中，构建数学模型，对理科思维培养也起到一定的作用。

二、数学建模思想在生物学中的应用

1.数形结合思想的应用

生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型。它能考查学生的分析、推理与综合能力。这类试题从数形结合的角度，考查学生用数学图形来表述生物学知识，体现理科思维的逻辑性。

例1：如下图1表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系；图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。以下说法正确的是()

A.图2中甲细胞处于图1中的BC段，图2中丙细胞处于图1中的DE段

B.图1中CD段变化发生在减数Ⅱ后期或有丝分裂后期

C.就图2中的甲分析可知，该细胞含有2个染色体组，秋水仙素能阻止其进一步分裂

D.图2中的三个细胞不可能在同一种组织中出现

解析：这是一道比较典型的数形结合题型：从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减Ⅱ后期和丙为减Ⅱ中期；而图1中的AB段表示的是间期中的(S期)正在进行DNA复制的过程，BC段表示的是存在姐妹染色单体(含2个DNA分子)的染色体，DE段表示的是着丝点断裂后的只含1个DNA的染色体。此题的答案是B。

2.排列与组合的应用

排列与组合作为高中数学的重要知识。在减数分裂过程中，减Ⅰ分裂(中期)的同源染色体在细胞中央的不同排列方式，在细胞两极出现不同的染色体组合，最终形成不同基因组成的配子，这是遗传的分离定律与自由组合定律细胞学证据。同样，遗传信息的传递与表达过程中，也涉及到碱基的排列与密码子的组合方式。因此，教师在教学中，从具体的实例出发，结合排列与组合知识，解决生物学上的一些疑难问题。

3.数学归纳法的应用

在平时的教学中，教师要善于从已有的知识过渡到新知识，诠释新知识与已有知识的内在联系与区别，以利于学生进行同化学习。教师通过对一些实例分析、协助学生归纳出一般的规律并构建数学模型。学生通过上位学习，把数学中的相关知识融入到生物学科中来，做到举一反三。然后通过运用新规律，进一步检验、巩固新知识，并实现知识的正迁移。

例2：若让某杂合子连续自交，能表示自交代数和纯合子比例关系是( )

解析：假设此杂合子的基因型为Aa、采用数学归纳法对杂合子自交的后代概率进行推算(一般学生都会)。自交第一代的杂合子概率为1/2，纯合子的概率为1/2(显、隐性纯合子)，自交第二代的杂合子概率为(1/2)2……自交第N代的杂合子概率为(1/2)N，而纯合子则为1-(1/2)N，然后再构建数学曲线模型。本题答案为D。

4.概率的计算

高中生物的遗传机率的计算是教学的难点，教师通过对具体实例的解析，协助学生构建概率相加与相乘原理。比如，分类用概率相加原理；分步用概率相乘原理。

例3：A a B b×A a B B相交子代中基因型a a B B所占比例的计算。

解析：因为A a×A a相交子代中a a基因型个体占1/4，B b×B B相交子代中B B基因型个体占1/2，所以a a B B基因型个体占所有子代的1/4×1/2=1/8。由概率分步相乘原理，可知子代个别基因型所占比例等于该个别基因型中各对基因型出现概率的乘积。

5.生态系统的数学模型

生态学的一般规律中，常常求助于数学模型的研究，理论生态学中涉及到大量的数学模型构建的问题。在高中生物学中有种群的动态模型研究，如“J”与“S”型曲线；另外，种间竞争及捕食的数学模型等等。

例4：在实验室中进行了两类细菌竞争食物的实验。在两类细菌的混合培养液中测定了第Ⅰ类细菌后一代(即Zt+1)所占总数的百分数与前一代(即Zt)所占百分数之间的关系。在下图中，实线表示观测到的Zt+1和Zt之间的关系，虚线表示Zt+1=Zt时的情况。从长远看，第Ⅰ类和第Ⅱ类细菌将会发生什么情况？()

A.第Ⅰ类细菌与第Ⅱ类细菌共存

B.两类细菌共同增长

C.第Ⅰ类细菌把第Ⅱ类细菌从混合培养液中排除掉

D.第Ⅱ类细菌把第Ⅰ类细菌从混合培养液中排除掉

解析：两类细菌在实验条件下，同一环境中不存在其他生物因素的作用时，竞争的结果是一种生物生存下来，另一种被淘汰现象。从上述图形的对角线(虚线)上可以看出在虚线上任取一点作横坐标与纵坐标得到的是相同的数据，这说明了同种细菌后一代与前一代在混合培养液中的比例没有变化，说明它们之间是共存的，不是竞争关系。而实线位于虚线下方，用同样的方法不难得出，第Ⅰ类细菌的后一代含量比前一代含量减少了，在竞争中是劣势的种群。本题答案为D。

6.生物作图及曲线分析

生物作图在近些年的高考试题中经常出现，对能力要求比较高，要求学生会从数形中提炼出有用的信息。教师在平时的教学中，可以结合生物学知识解决一些难以理解的、比较抽象的图形和曲线。

例5：有一种酶催化反应P+Q→R，右图中的实线表示没有酶时此反应的进程。在t1时，将催化此反应的酶加入反应混合物中。右图中的哪条线能表示此反应的真实进程(图中[P]、[Q]和[R]分别代表化合物P、Q和R的浓度)？( )

A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ E.Ⅴ

解析：A、B和D都不对。酶作为催化剂不能改变化学反应的平衡点即平衡常数(Keq=[R]/[P][Q])，只能缩短达到平衡的时间。图中实线平行于横坐标的线段延长相交于纵坐标的那个交点即为此反应的Keq。Ⅰ，Ⅱ和Ⅳ三条线显然都改变了此平衡点。C正确：线Ⅲ反映了加酶后缩短了达到平衡点的时间而不改变原反应的平衡点。E不对：曲线Ⅴ从t1至平衡前的线段不符合加酶后的真实进程。

[1]钟静.数学模型法在高中生物教学中的应用[J].萍乡高等专科学校学报，2012，(03).

[2]陈卫东.模型建构在高中生物新课程教学中的应用[J].教学与管理，2011，(04).