数学史融入定积分概念的教学案例

于金青 邓 硕

（1.石家庄邮电职业技术学院基础部，河北 石家庄050021；2.河北地质大学数理学院，河北 石家庄050031）

数学史融入定积分概念的教学案例

于金青1邓 硕2

（1.石家庄邮电职业技术学院基础部，河北 石家庄050021；2.河北地质大学数理学院，河北 石家庄050031）

定积分是高等数学中一个非常重要的工具，能否把握定积分的思想直接影响后期定积分的应用。本文将数学史融入到定积分概念的教学中，设计具体的教学方案，使得学生能够理解其中所体现的数学思想，方便以后的应用。

定积分；分割；近似；求和；取极限

16、17世纪，天文学、光学的发展，航海的需要，矿山的开发，火药、枪炮的制作提出了一系列物理和数学问题[1]。例如面积和变速直线运动的路程，当时直线形的面积不难求出，但曲线围成的面积就比较困难，如行星的矢径扫过的面积，同样，匀速直线运动的路程容易求出，而变速直线运动的路程不易求出。“无限细分、无限求和”的积分思想在古代就已经萌芽，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。后来也逐步得到了一系列求面积（积分）的重要结果，但这些结果都是孤立的、不连贯的[2]。直到17世纪，牛顿和莱布尼兹在许多数学家工作的基础上和科学积累的基础上发现了微分与积分互为逆运算，从而创立了微积分。

在讲授定积分概念时，结合数学史，用当时求面积和路程的方法求曲边梯形的面积和变速运动的路程[3]，从而引入定积分的概念。

1 具体问题

1．1 曲边梯形的面积

先介绍曲边梯形的数学定义：由连续曲线y=f（x）（f（x）≥0）、x轴与两条直线x=a、x=b所围成的图形是曲边梯形。接下来举一个具体的例子：由连续曲线y=x2、x轴与两条直线x=0、x=1所围成的曲边梯形。

当时人们并没有像现在这样的定积分工具，就无法套用现成的面积公式求出精确值。那么如何求由连续曲线y=x2、x轴与两条直线x= 0、x=1所围成的曲边梯形的面积？没有现成的公式，那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的公式是矩形的面积公式，是否可以用矩形近似表示曲边梯形呢？整个的曲边梯形不能用矩形近似表示，那么就把曲边梯形切分。

具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的。

分割：

对于上面给的具体的曲边梯形，在区间[0,1]内插入n个等分点0==1，这样就把区间[0，1]分成了n个小区间每个小区间的长度为，从而曲边梯形分成了n个小窄曲边梯形

近似：

求和：

曲边梯形面积的近似值为：

接下来，用多媒体展示当分割无限加细时，矩形面积的和无限接近曲边梯形面积的精确值。也就是说当n无限增大时，近似值就无限接近于精确值，这正好就是极限概念的叙述。因此要想得到精确值，就得对近似值求极限。

取极限：

因此，曲边梯形面积的精确值为：

1.2 变速运动的路程

设某物体作直线运动，已知速度v=v（t）=t2+2是时间间隔[0，1]上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程s。

同样，当时人们并没有像现在这样的定积分工具，无法套用现成的公式求出精确值。那么能否退一步，先求出它的近似值？当时可以用的是匀速直线运动的路程公式，是否可以用匀速运动近似表示变速运动呢？整个的变速运动的路程不能用匀速运动的路程近似表示，那么就把变速运动的路程切分。

具体来说，当时的人们是按照下面的步骤进行求解的。

分割：

对于上面给的具体的变速运动，在区间[0,1]内插入n个等分点，=1，这样就把区间[0,1]分成了n个小区间每个小区间的长度为，从而变速运动的路程分成了n个变速运动的路程

近似：

求和：

变速运动路程的近似值为：

当n无限增大时，近似值就无限接近于精确值，即：近似值的极限就是精确值。

取极限：

因此，变速直线运动的路程的精确值为：

2 一般问题

2.1 一般曲边梯形面积的求法

分割：

针对一般的曲边梯形，在区间[a,b]内插入n个等分点，a=a+=b，这样就把区间[a,b]分成了n个小区间每个小区间的长度为，从而曲边梯形分成了n个小窄曲边梯形

近似：

求和：

曲边梯形面积的近似值为：

同样，当n无限增大时，近似值就无限接近于精确值，这正好就是极限概念的叙述。因此要想得到精确值，就得对近似值求极限。

取极限：

2.2 一般的变速直线运动路程的求法

设某物体作直线运动，已知速度v=v（t）是时间间隔[T1，T2]上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程s。

分割：

针对一般的变速运动的路程，在区间[T1，T2]内插入n个等分点，，这样就把区间[T1，T2]分成了 n个小区间每个小区间的长度为△ti=，从而变速运动的路程分成了n个变速运动的路程

近似：

求和：

变速运动路程的近似值为：

同样，当n无限增大时，近似值就无限接近于精确值。因此要想得到精确值，就得对近似值求极限。

取极限：

3 定积分的概念

很多问题都与上述两个问题存在着共同之处：解决问题的方法步骤相同，所求量的极限结构式相同。这样就逐渐产生了定积分的一般概念：假设f（x）在[a，b]上有界，分割[a，b]：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b，（n=2,3,…），其中（i=1，2，3，…，n）.在每个小区间[xi-1，xi]任取一点ξi，构造和式，如果当n→∞时，下述极限存则f（x）称在[a，b]上的积分存在，并称这个极限值为f（x）在[a，b]上的定积分。记为：

可以看出，上述定积分的定义与现行教科书中的定义不一样。定积分概念有两个任意，实际上，可以将区间分割方式的任意性要求取消，改为对区间进行等分[4]。事实上，上述定义与现行教科书中的黎曼积分定义是等价的。

［1］李文林．数学史概论(第二版)[M]．高等教育出版社，2003.

［2］[美]莫里斯·克莱因．古今数学思想（第二册）[M]．上海科学技术出版社,2009．

［3］[美]H.伊夫斯.数学史概论[M]．欧阳绛,译．山西经济出版社，1993.

［4］郭镜明,韩云瑞,张栋恩．美国微积分教材精粹选编[M].高等教育出版社，2012．

［责任编辑：李书培］

2.2.1 参数的动态显示

模拟量使用动态棒图显示，当参数超过高限或低于底限时相应的指示灯亮同时发出声音报警信号，开关量使用指示灯表示，红色表示断开，绿色表示接通。

2．2．2 通信操作部分

“接收”按钮完成参数的手动接收，通信操作通过下拉菜单选择通信使用的串口号，通信状态CD、DTR用来显示单片机和上位机是否准备就绪。

3 结束语

本文通过CH341USB转串口功能完成了USB接口标准下的数据采集，基于USB接口的数据采集系统由于具有使用简单、即插即用、开放性、高速、稳定、可靠性高等优点，因此特别适用于仪器仪表、虚拟仪器、数据采集、数据采集设备和监控设备等场合。

【参考文献】

［1］胡汉才.单片机原理及其接口技术[M].北京:清华大学出版社,1996.48-95.

［2］曹桂琴.数据采集基础[M].大连:大连理工大学出版社,2002:39-41.

［3］叶玉明,姚伯威,彭伟.基于USB总线数据采集系统研究[J].中国测试技术报, 2003(1):7-8.

［责任编辑：李书培］

于金青（1976—），女，河北石家庄人，石家庄邮电职业技术学院基础部，讲师，研究方向为近现代数学史。

邓硕（1987—），女，河北石家庄人，河北地质大学数理学院，助教，研究方向为代数编码理论。