比定义更重要的是什么？——从特级教师蔡宏圣执教的“认识方程”谈起

□ 江苏省张家港市泗港小学 赵红婷



比定义更重要的是什么？
——从特级教师蔡宏圣执教的“认识方程”谈起

□ 江苏省张家港市泗港小学 赵红婷

“先学后教”的教学方式能培养学生自主学习能力，这毋庸置疑。在这类课上教师究竟该讲什么？譬如方程，学生自学概念后似乎懂了，但这个“懂”意味着真正理解吗？这个“懂”就不值得教师关注了吗？前段时间，有幸聆听了特级教师蔡宏圣执教的苏教版五年级下册“认识方程”一课，蔡老师指出：“方程的定义不等于方程。”那么，对方程而言，定义是最重要的吗？比定义更重要的是什么？是对数学的感觉？还是对数学的理解和感悟？教师不能仅仅满足于让学生根据方程外在形式定义去辨别方程，应引导学生从更深层次认识方程。

一、寻找感觉：用数学的眼光去观察

有时，知道某一概念，却未必真对其有感觉。而一旦对所学概念有了感觉，认知水平就会达到较高层次。蔡老师认为，对于“先学后教”的课，教师需要有这样的警惕：学生貌似懂了，可能只是浅层次的懂，未必真正理解概念含义。整节课，他始终鼓励学生用数学眼光去观察、去审视，寻找对方程的独特感觉。

【片段1】

师：什么是方程？

生：含有未知数的等式是方程。（教师板书）

师：怎样的等式是方程，你能举个例子吗？

生：x+50=200，2x=200。

师：判断是否是方程，要抓住什么？

生：要看是不是有未知数，是不是等式。

师：一年级学过这样的算式（）×3=12，这个是方程吗？理由是什么？

生：是的，理由是它有未知数，而且还是等式。

师：怪不得你们都懂了，原来你们一年级就接触了！

师：请看，y×4=8是方程吗？

生：是方程。

师：再看，x×3＞50是方程吗？

生：不是方程，因为它不是等式。

【思考】对于方程，学生会有怎样的感觉？显然，对数学的感觉主要基于经验。关于方程，学生并非一张白纸，他们有朦胧的感觉，教学的目的在于激发和提升这种感觉和体验。蔡老师的处理可谓与众不同，课伊始，他就单刀直入，让学生试着说出方程概念。学生正确表述后，教师再让学生举出方程的例子。教师还令学生说出判断方程的依据。然后教师呈现了一年级填括号的例子，以及一些含有未知数的式子，让学生用数学的眼光去观察和判断。丰富的例子，丰厚了学生对方程的体验。

二、简化形式：用数学的语言去记录

抽象、去情境是数学的本质特征。从某种意义说，学习数学就是一个不断追求简洁的过程。方程并非凭空出现，它是一些生活情境的数学化表达。方程是用数学的方式，即用数、符号等来记录事情。用数学语言去记录生活中相等的事例，便凸显出方程的本质。

【片段2】

出示天平图：左边是一个橙子和一个50克的砝码，右边是150克的砝码。

师：你能说出这幅天平图的意思吗？

生：x+50=150。

师：看起来是一个橙子加上50克等于150克，你们把它简化了，变成了什么？

生：x+50=150。

（用文字写出题意：一个橙子加上50克等于150克）

师：老师写了那么多文字，跟你们写的式子有什么区别？

生1：我们把橙子设为x。

生2：我们用上了等于号，就是符号。

师：还用上了什么？

生：还用了数。

师：你们用数学语言写下来就成了方程。方程是怎么来的？

生1：是把我们的语言描述表达成了数学算式。

生2：把一些未知数转化成了字母。

生3：它是两边相等的。

师：不同的人看周围世界是不一样的，用数学的眼光去看，用数学的语言记录下来，方程就是其中之一。不同年龄可以写不同样子的方程。

【思考】仅用语言描述，能把方程问题阐述清楚，但逻辑上容易出现混淆，而用数学符号来阐述就显得清楚易懂。史宁中教授指出，教学方程时，可先让学生用自然语言阐述事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，并解决问题。事实上，强调用数学符号把要说的话（即两件等价事情）表达出来，这是方程的根本，是学生必须真正掌握的东西。蔡老师对此深有体会，出示情境后，通过文字描述和符号描述的对比，学生感受到了数学符号表达的简洁性。

三、凸显本质：用数学的思维去感悟

学习方程的意义在于：一是学习在生活中从错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非常难的，也很有训练的价值；二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂的问题简单化，这种优化思想对于人的思维习惯的影响是深远的。

【片段3】

教师出示四个情境图问题：

第1题：天平左边是3个橘子，右边是800克砝码，天平向左倾斜。

第2题：天平左边是250克砝码，右边是一个橘子和一个苹果，天平平衡。

第3题：5个小杯和1个容量300毫升的大杯合起来一共是800毫升。

第4题：一辆公共汽车上，原有乘客50名，中途又有12名乘客上车，现在车上共62名乘客。

师：你能看到方程吗？

生：图1不是方程，因为它是3x＜800，不是等式。

生：图2是方程，x+y=250。

师：图3没天平，能写成方程吗？

生：方程是800-300=5x，要找出等量关系，才能写出算式。

师：是的，就像图1，没有等量关系，就没有等式。要找等量关系，就是找谁和谁是相等的。

师：图3还可以写成怎样的方程？

生：800-5x=300。

师：含有未知数就是未知数与数一起干活，形成等式，这才是我们要的方程。我们应该写怎样的方程？

生：应该把数和未知数写在一起。

师：不要写成以前算式的样子。

师：第4个问题是方程吗？为什么？

生：不是方程，因为没有未知数。

师：对，虽然有相等关系，但没有未知数，所以不能写出方程。

（出示方程史话：为什么有方程？）

早在3600多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约2000多年前成书的《九章算术》中，就记载了用一次方程解决实际问题的史料。一直到300多年前，法国的数学家笛卡尔第一次倡议用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。

【思考】方程阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身，方程说明两件事情是等价的，这正体现了建模思想。认识方程，应引导学生关注数量关系，体会方程的高度概括性和抽象性。比如：4X=40，这个方程可以记录的事件很多，但这些不同的事件却都可以用这个方程来表示。正是因为不论是哪种事件，他们本质的数量关系是相同的。教师为学生打开了代数这一新视野，在代数世界里，未知数获得了与已知数一样的地位，可以平等地参与运算。这是方程的基本特质，也是学习方程的价值所在。

总而言之，比定义更重要的是对数学的理解和感悟，是数学思维的应用和强化。学会抽象和概括，摒弃与数学无关的外在属性，只关注数学的本质属性，增强做事情运筹和逻辑的条理。这种数学思维的训练，这一数学素养的形成，对学生成为一个合格公民、适应日常生活，以及进一步学习数学，都是至关重要的。