灵活变通 事半功倍——例谈不等式恒成立的解题技巧

■江苏省泰兴市第二高级中学　邹敬宇



灵活变通事半功倍——例谈不等式恒成立的解题技巧

■江苏省泰兴市第二高级中学邹敬宇

不等式恒成立问题在高考中经常出现，由于涉及的知识面广，制约条件复杂，参变量的潜在约束比较隐蔽，因而一直是一个难点.恒成立问题，涉及一次函数、二次函数的性质与图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.不等式恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；图像求解型.下面笔者通过多年的教学实践对解题中常用的解题方法逐一剖析，以期抛砖引玉.

一、更换主元构造函数法

有些数学问题构思新颖，同时有其实际背景，按习惯思维，把注意力集中在某些醒目的“主元”上，往往陷入困境.如果打破思维定势，反“客”为“主”，把原来处于相对次要地位的“客元”突出出来，常常能收到意想不到的效果.通过更换主元措施可以将二次不等式转化为一次不等式，达到简化解题的目的.当一道题中有多个变量时，要敢于把其中的一个变量作为自变量，其余的变量作为参数处理，此法称为“更换主元法”，可达到逐步减少参数使问题获得解决.“更换主元法”是将二次函数恒成立问题转化为一次函数恒成立问题的一种重要措施，在解题时要注意灵活运用.

例1对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+ px+1＞2p+x恒成立的x的取值范围.

分析：在不等式中出现了两个字母x、p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.

解：不等式x2+px+1＞2p+x可化为（x-1）p+x2-2x+1＞0，设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，则f（p）在［-2，2］上恒大于0，故有即解得

所以x＜-1或x＞3.

点评：对于一次函数f（x）=kx+b，若f（m）＞0，f（n）＞0，则当x∈［m，n］时，恒有f（x）＞0；对于一次函数f（x）=kx+b，若f（m）≥0，f（n）≥0，则当x∈［m，n］时，恒有f（x）≥0.

二、反客为主分离变量法

若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.具体措施为：函数的单调性法、区间最值法、基本不等式法等.

不等式f（x）＞A在区间D上恒成立等价于在区间D上f（x）min＞A；不等式f（x）＜B在区间D上恒成立等价于在区间D上f（x）max＜B.

例2若不等式x2-2mx+2m+1＞0对0≤x≤1内的所有实数x都成立，求m的取值范围.

解析：分离变量，当x=1时，原不等式即2＞0恒成立；当0≤x＜1时，原不等式即，故只需

点评：由于原不等式是关于x的二次不等式，所以也可以利用函数图像来解决，设g（x）=x2-2mx+2m+1，开口向上，要在区间［0，1］上恒大于零，必须或或解得m＜0或m＞1或.故

因此，涉及不等式中恒成立变量的取值范围问题，可根据a＞f（x）恒成立⇔a＞f（x）max，a＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）min，利用分离变量的方法求解，变形时，一定要注意x=0的情况，即要注意分类讨论，不能遗漏任何可能情况.