让变式教学在数学课堂中大放光彩

■江苏省海门市实验学校　陈丽华



让变式教学在数学课堂中大放光彩

■江苏省海门市实验学校陈丽华

变式教学正是通过变更数学概念的非本质特征来暴露问题本质特征的教学方法.通过对问题结构的改变，体会变式教学下结构的发生、发展、异化迁移等，从而揭示规律，促进数学思想方法的内化；求同存异，培养学生的批判性思维；优化方法，培养学生思维的广度和深度；融会贯通，培养学生思维的整合性.

在平时的教育教学中开展变式教学，使例题富有内涵，一题多用，以题带面，充分发挥一道例题的教学功能，使数学教科书上“冰冷的美丽”变为“火热的思考”；激发学生的兴趣和求知欲，让学生有进一步学习和探索的欲望，从而让学生在问题的解决中获得成功的体验，从而激发、培养学生良好的质疑、求实的思维习惯和能力．下面笔者结合平时的教学经历谈谈变式教学的一些做法，不当之处，欢迎指正.

一、利用变式教学引入新课

建构主义者认为，数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程.数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人已有的经验，通过反省来主动建构.因此基于学生已有的认知，有意识地引导学生对教材内容进行变式，引发学生的认知冲突，并作进一步探究，进而引入新课，学生通过对问题进行归纳总结提炼，构建知识网络，有利于将知识学活，提高解题能力.

案例1根据苏教版《选修2-1》第41页例3，以及第55页探究，笔者将其改编为如下题目：平面内一动点M到两个定点A（-a，0），B（a，0）的连线斜率之积是λ（λ是常数），当λ满足下列条件时，分别求出点M的轨迹：

（1）λ＜-1；（2）λ=-1；（3）-1＜λ＜0；（4）λ=0；（5）0＜λ＜1；（6）λ＞1；（7）λ=1.

学生的解答：设点M的坐标为（x，y），由题意知，kAM·

（1）焦点在y轴上的椭圆除去两端点A（-a，0），B（a，0）；

（2）圆心为（0，0），半径为a的圆；

（3）焦点在x轴上的椭圆除去两端点A（-a，0），B（a，0）；

（4）直线y=0除去两点A（-a，0），B（a，0）；

（5）（6）（7）焦点在x轴上的双曲线除去两端点A（-a，0），B（a，0）.

由此题给出变式：

【变式1】平面内一动点M到两个定点A（-a，0），B（a，0）的连线斜率之商是λ（λ是常数），求点M的轨迹.

【变式2】平面内一动点M到两个定点A（-a，0），B（a，0）的连线斜率之差是λ（λ是常数），求点M的轨迹.

在变式2中，当λ≠0时，得到了抛物线的轨迹方程，由此引入抛物线.在引导学生对教材例题的探究过程中，圆锥曲线的很多知识点被串了起来，加深了对求动点轨迹的方法的理解，实质上探究结果并不重要，但在探究的过程中，通过合作交流，反思总结去追根溯源，极大地提高了学生的解题能力，使所学知识系统化、网络化.

二、利用变式教学深化问题解决重难点

众所周知，“重点”是指本课时的主要知识或方法，对后续学习或解题有着重要的作用．“难点”是指教材中难以理解和掌握的部分内容．教学中，我们对重、难点应是众星捧月，从多角度、多方面、多层次的设计，让学生积极开动脑筋，与教师一起来攻克重难点．

案例2双曲线的定义：“平面内与两定点的距离之差的绝对值的差是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线［1］．”为突出这一重要定义，我们可以设置下述系列变式：

1.将“小于|F1F2|”换为“等于|F1F2|”，其余条件不变，动点的轨迹是什么？

2.将“小于|F1F2|”换为“大于|F1F2|”，其余条件不变，动点的轨迹是什么？

3.将绝对值号去掉，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

4.若定义中的常数为0，其余条件不变，动点的轨迹是什么？

这一系列的变式问题，使学生的思维自始至终处于积极活动中，既开阔了学生的视野，使此重点知识在脑海中形成整体印象，又突破了难点，从而在本质上把握定义．“教”是为了“不教”，学生自己探索得到的知识会给他们留下更深刻的印象．

案例3下面是线性规划中的一道常规题，对其进行变式引申，可以让学生对此类问题有了更深刻的认识.

本例从“截距型”，变式为“斜率型”，再到“距离型”.求解涉及分式、配方等变形技巧，体现了转化与化归的思想，可以使学生较好地掌握线性规划中最基本的问题.题目讲评贵在方法，重在思维，关注延伸.因此平时上课中不应只是就题论题，而要不断挖掘、变换角度尽量发挥试题的辐射作用.

三、利用变式教学揭示例题隐含的规律

例题教学是数学课堂教学中不容忽视的一个重要环节，它能向学生展示运用所学知识解决问题的思路、方法、手段．但例题的数量应适当控制，要做到举一反三，即对于某一类问题，教师要抓住典型范例，解剖麻雀，揭示规律，而把同一类教材的其他问题留给学生自己解决，以取得事半功倍的效果．

案例4苏教版选修教材2-1“椭圆”一节中有这样一道题目：“△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-6，0）和（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于，求点C的轨迹方程.”依题意求出此题的结果是：（x≠±6）.此题是比较典型的一习题，为了让学生再进一步理解题目隐含的本质，对此，我们可以引导学生做到以下几个方面：

（1）思考引申

（2）结论应用

学生对自己推导出来的结论一定会兴奋不已，教师趁此给予相关性的题目，让学生对此结论加以应用.例如，2013年安徽省高三联考卷某题的第二问：已知椭圆，设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点的对称点为A，关于x轴的对称点为Q，线段PQ与x轴交于点C，点D为CQ的中点，若直线AD与椭圆E的另一个交点为B，试判断直线PA，PB是否互相垂直？并证明你的结论.本题条件较多，若抓不住入手点，会导致计算量大、得不出结果，若课堂上，教师引领学生对上面的习题加以引申，那么学生对本题就会迎刃而解.

分析：点P，A关于原点对称，点B也在椭圆上，则kBA·，由题意又易得出则，即，所以很快能够判断出直线PA，PB是互相垂直的，按照此思路给予证明即可.

（3）类比拓展

由椭圆中这一习题，联想到高中阶段所学的解析几何中中心对称的曲线——圆、双曲线，是否也有类似的结论呢？

①圆

②双曲线

（4）综合应用

苏教版教材上的一练习题（选修2-1，80页）：△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-6，0）和（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），求点C的轨迹方程.本题很好地综合了以上三种曲线的共同问题，轨迹方程为：mx2-y2=36m，m的范围不同，所表示的曲线也不同.

①当m＞0时，轨迹是双曲线；

②当m=-1时，轨迹是圆；

③当-1＜m＜0或m＜-1时，轨迹是椭圆.

对一道试题深度挖掘，脱离了以往的死板、照本宣科的教学，沟通了知识之间的联系，显示了课堂教学的灵活性，激发了学生对知识的探究欲望，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题.通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定式，而又打破思维定式，有利于培养思维的变通性和灵活性.

四、利用变式教学完善知识结构

波利亚说：在你找到第一个蘑菇（或做出第一个发现）后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.很多问题都潜藏着进一步扩展研究的教学功能，通过合理变式，构造题组，让学生在变的过程中发现不变的本质，在不变的本质中探究变的规律，加深对问题的认识，在提高能力的同时完善知识结构.

案例5（苏教版高中数学必修2，127页）已知过点M（-3，-3）的直线l被圆C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为，求直线l的方程.

【变式1】已知过点M（-3，3）的直线l被圆C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8，求直线l的方程.

【变式2】已知过点M（-3，3）的直线l被圆C：x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为求直线l的方程.

【变式3】已知过点M（-3，-3）的直线l被圆C：x2+y2+ 4y-21=0所截得的弦长为10，求直线l的方程.

直线与圆的位置关系是解析几何中比较重要和核心的关系.设置变式1的目的是提醒学生勿忘斜率不存在的情况，变式2与变式3分别是求过圆内定点弦长最短与最长的直线方程，答案是唯一的.解题后可以启发学生思考为何前两个问题有两条直线，而后两个问题则只有一个答案？从而发现问题的本质：垂直于CM的弦最短，最短弦长为；直径（过C，M两点）最长，最长弦为10；在区间的弦长有两条.

在平时的数学教学中要做到：源于教材，高于教材，专题有新意，考卷有新意，总结内容也要有新意，切忌同一问题以同一形式多次重复，以免学生觉得单调乏味，没有新意.

借助变式教学，引发思维冲突，调动学生积极尝试，参与辨析，深刻反思，让学生在质疑中品味思维的魅力，在问题的解答中获得成功的体验，从而激发、培养了他们良好的质疑、求实的思维习惯和能力，使教学过程成为一种学生渴望不断探索真理，带有情感色彩的意向活动，这将为我们的教学带来很好的效果.