让数学课堂教学回归自然和理性*——从叶须尔老师的“一次函数（第一课时）”教学实录（片段）说开来

☉安徽省肥西县金牛学校　刘　钰

让数学课堂教学回归自然和理性*——从叶须尔老师的“一次函数（第一课时）”教学实录（片段）说开来

☉安徽省肥西县金牛学校刘钰

2015年5月21日—24日笔者有幸随合肥市初中数学培训基地的教师培训团队及合肥市初中数学骨干教师们一起赴南通“聆听大师声音·感受高效课堂”专题研讨活动.全国著名特级教师、享受国务院特殊津贴专家、江苏省首批名师李庾南给我们展示的一节“圆的对称性”新授课，给我们留下了深刻的印象.整节课四十五分钟下来，给人的感觉是舒缓自如，娓娓道来，这和笔者经常听到的令人眼花缭乱的展示课是大相径庭.笔者时常在回味着这节课的每一个细节，同时也在思考着一个问题：是什么原因使这节课这样让人难以释怀？直到笔者看到2015年11月下半月的《中学数学》上叶须尔老师写的《基于过程教育的“一次函数（第一课时）”课例及说明》一文时，顿觉豁然开朗.似曾相识的感觉油然而生，这样的数学课堂才是我们实际教学中的课堂：朴实无华、“慢”中求“真”、“淡”中见“实”，就像苏霍姆林斯基笔下被微微打开的一扇窗，学生能望见一望无际的知识原野，也是徐志摩笔下的“长篙”，能让学生自觉地顺着师者的“问题串”向青草更深处慢溯.这样的课堂才算“回归”到我们的身边.

下面笔者就把叶老师的教学实录摘抄下来，限于篇幅，只摘录教学环节1、2两部分片段中教师的“问题串”（环节3、4略）与读者共享.

一、课堂教学实录——“问题串”（部分）

环节1：经历并感悟一次函数产生的过程——明确研究的问题

我们知道，许多实际问题可以转化为函数问题，用函数问题解决实际问题的过程与用方程解决问题的过程类似.现在我们一起解决下列问题.

问题1：某种储蓄的月利率是0.16%.某人存入1000元本金，若设所存的月数为t（月），本息和为m（元），问：当t=10时，m=？

（1）在这个问题中，哪些是常量？哪些是变量？

（2）不错，m关于t的函数的解析式是什么？

（3）好的.当t=10时，m=？其实际意义是什么？

（4）好的.获得这个解析式经历了哪几个步骤？

（5）不错.函数m=1.6t+1000有何特点？

（6）好的.其实，这种特殊的函数有着丰富的情景，例如“y=40x、y=6x、y=16-x、Q=-312t+936”等，都是从生活问题中抽象出来的.

（7）既然这类函数具有丰富的现实情景，就有研究这类函数的必要.这类函数有何特征？有何性质？本节就来研究这些问题.（揭示课题）

环节2：参与定义一次函数的活动——形成一次函数的概念

问题2：函数“y=40x、y=6x、y=16-x、Q=-312t+936”有何特征？

（1）不错.你是从变量的个数角度来归纳.

（2）好的.你是从表示变量的字母的最高次数角度来归纳.

（3）不错.代数式的类型角度来归纳.

（4）有道理.你是用方程概念来归纳

（5）非常好.你有较强的符号表示意识.

（6）尽管这类函数有多种特征，但是其本质特征是它们都可以表示为y=kx+b（k、b都是常数，且k≠0）的形式.

（7）由于这类函数以后会经常用到，所以我们要给它一个名称：形如y=kx+b（k、b都是常数，且k≠0）的函数叫一次函数，当k=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，且k≠0），叫作正比例函数，常数k叫作比例系数.

（8）在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？若是一次函数或正比例函数，则其系数k和常数项b的值各是多少？

（9）好的.获得一次函数的概念经历了哪几个步骤？

（10）很好，在这个过程中体现了抽象思想、归纳思想、符号表示思想等.

（11）一次函数与二元一次方程有何区别与联系？（12）非常好，它们都是描述现实世界数量关系的重要数学模型.

环节3：参与尝试概念运用的活动——合作解答有代表性的问题

（1）现在大家合作解答下列问题……

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

我们知道，许多实际问题可以转化为函数问题，用函数问题解决实际问题的过程与用方程解决问题的过程类似.现在我们一起解决下列问题.……

二、对数学课堂教学回归的三点思考

1.平平淡淡才是“真”——上务实课

众所周知，作为一线教师的我们，一直以来仍然以教师讲授和引导为主，学生的思维更多的是在师生的一问一答中展开，上文中的叶老师从环节1：经历并感悟一次函数产生的过程，到环节2：参与定义一次函数的活动，再到环节3：参与尝试概念运用的活动，既没有高深别致的题型，也没有跌沓起伏的情节，更没有热闹非凡的场面，整个教学过程看似是平淡无奇.但当你细细品味一下叶老师对于每一个知识点在教学中的问题设计时，就会发现授课者都在想方设法尽量由学生自主发现、猜想、推理而得到相关的结论，这种探究式的教学方式，让学生经历知识形成的过程，循序渐进地引导学生展开思维活动.大家都知道这样一个案例：一位教师在讲授“三角形内角和等于180度”时，为了追求所谓的新课改精神，而发动学生去一个角一个角地去度量，其结果是有的学生量出的三个内角和却不等于180度，这也可以理解，因为度量是有误差存在的.课堂的气氛倒是活跃了，但其学习效果是适得其反.作为授课者要知道这样一个事实：学生已经知道了定理的内容，然而，那是在小学阶段粗糙地直观得出的，还没有经过严格的证明，本节课正是要从实验到论证、从感性到理性、从直观到抽象的飞跃，因而启发的重点应是“如何找出证明”？所以没有必要搞得那么轰轰烈烈，课本中给出的“拼接法”，其实小学阶段也讲过了，现在我们只需让学生重做一下这个实验，设计这样一个“追问”：当时你们就没有怀疑三个角能拼成的一定是平角吗？从实验到追问，可以说是平淡无奇，但对于本节课的后继教学却是至关重要的，因为这个实验对于一个八年级的学生来说已经间隔了好几年，不排除有一部分学生已经忘了，同时这个实验中角的转移却蕴含着用作辅助线——平行线的方法来证明该定理的解题思路.正如数学家波利亚所说：“当你找到了第一棵蘑菇后，再四处看看，它们总是成群生长的.”我们就要抓住这个实验作为知识的生长点，引领学生思考，将学生的思维拓展开来，从而转入对定理的证明.我们平时的课堂教学就是这样，平平淡淡却又实实在在，这样的课堂教学让人感觉真实、质朴、理性而有实效.

2.细雨润物才能“醒”——在“慢”教学中让学生去领悟

当下，以“大容量、快节奏、高密度”为特征的“高效课堂”模式盛行，对课堂教学效益的片面追求，不仅会加重学生的学习负担，而且会使得教育失去了春风化雨、无声润物的本来面目；日本知名教育学者佐藤学曾指出：“教育，需要在缓慢的过程中沉淀一些东西”，在课堂上的慢，是为了把发现的机会、锻炼的机会让给学生，让学生有机会展现自我，有足够的时空去慢慢消化积累，益于学生实现知识的有效内化，是一种绿色的质量追求.叶老师对于问题1的处理，可谓是下足了功夫：引导学生从审题开始——指出问题中的常量与变量；分析问题中的相关代数式表示的实际意义；列出函数解析式m=1.6t+1000；至此本节课要研究的课题——一次函数才初露端倪.这时叶老师就从函数解析式“m=1.6t+ 1000”，以及“y=40x、y=6x、y=16-x、Q=-312t+936”的特征入手，要求学生进行归纳，这时我们发现：有的学生是“从变量的个数角度来归”——有两个变量；有的“从表示变量的字母的最高次数角度来归纳”——表示变量的字母的最高指数都是1次；有的是从“代数式的类型角度来归纳”——右边的代数式是整式；有的是“用方程概念来归”——它们都是方程.在引导学生给“一次函数”定义完后，叶老师除进行及时巩固及总结外，话锋一转提出了这样一个问题“一次函数与二元一次方程有何区别与联系？”不要小看这个问题的提出与解决，因为至此，我们才能说“一次函数”的概念教学第一阶段才算完整（后面是应用环节），因为笔者认为：函数的概念教学必须从“两个维度”去把握，即对概念理解的“深度”和理解的“宽度”，其中对概念的理解深度是指对概念本质的理解；理解的宽度则是指对与概念相关的知识和性质的理解，以及和之前学过的有联系的知识的理解，从而将概念放在该知识体系的发展脉络和整体架构中去理解、去把握.叶老师不正是这样做的吗？

所以我们说要充分把握所授知识点的丰富思维内涵，放慢教学的节奏，放慢思维的步伐，在“承前启后，激发内需，抓好起点，步步逼近”的“慢”等中，通过推出不同的问题，对不同层次的学生加以引导，教会他们如何探索，教给他们必要的思维策略，这种春风化雨、润物无声的引导方式，通过加以时日的训练，一定能使学生能够自己引导自己独立进行问题的探究，学会思考问题及解决问题的方法.

3.曲径通幽才算“本”——数学课堂教学中的数学探究活动是促使学生的数学知识形成与掌握之根本所在

现代数学教育理论认为：数学是一种活动，是人类运用数学的思想与方法，观察、解决现实世界中的问题或对已有的数学结论不断抽象、概括形成新的结论和新的运用的探究活动.人类学和心理学研究表明：在人类的心灵深处，有多种根深蒂固的需要，那就是探究的需要、获得认可与欣赏的需要等，因此课堂教学中组织的各种形式的探究活动，有利于学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动，有利于学生问题提出过程中形成创新意识.当然教学中的探究活动经常不是一次完成的，而是以“探究—交流—统一思想—继续探究”形式多次完成，学生与学生群体间的表达交流，将会有效地使思维开阔，促进探究的深入.在此，教师的作用只是组织、指导、引领、监控、适当的点拨与及时的“推波助澜”活动.叶老师能立足于学生发展的角度，让学生全方位地去体验课堂，体验发现问题、探索问题的过程.如学生对一组函数解析式特征从不同角度的总结，以及后面的环节3：参与尝试概念运用的活动——合作解答有代表性的问题；环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结等.纵观这节课，学生从一次函数概念的发现、形成和发展过程，体验到了探索的艰辛，到最后运用所学的一次函数知识来解决实际问题，又体验到了成功的喜悦.在日常教学中，这样的实例实在太多了，如负数的引入，可以引导学生从生活实际需要去探究；绝对值的几何意义，学生可以借助数轴探究；整式的乘法法则，学生可以通过积极的拼图活动去探究；函数的图像，可以引导学生从现实生活中熟知的图表为入手点来探究……再比如，在“一次函数图像”教学中，我们还可以这样设计：（1）猜想：一次函数图像会是什么形状？（2）验证：在同一个平面直角坐标系中画出一个一次函数（学生自己选择一个）的图像.（3）结论：y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线.（4）深入思考：既然一次函数的图像是一条直线，那么一般情况下，画一次函数的图像时，取几个点？通常取什么样的点？举例说明.（5）进一步观察各组函数图像分别有什么特点？能否从这些图像中发现一些规律？……一连串的问题始终充满了实验、猜想、验证、对比、推理与交流等丰富多彩的数学探究活动，使得数学课堂因探究而充满活力.

三、结束语

总之，数学课堂教学既是一门科学、又是一门艺术.作为一门科学，它就有一定的规律可循，有一个评价标准；而作为一门艺术，贵在创新，就不应该有唯一的评价标准.无论如何，数学课堂也应该崇尚那种行云流水般的自然流畅而非任何流于形式的“作秀”；应该给予学生自由纯真的探索空间而非人为的非自然的设置；应该还给数学以其理性自然的真面目而非过于矫情的人文渗透；更应该关注数学课堂中的“小主人”们的实际学习状况而非陶醉在教者自己设计的世界里.孟子曰：教亦多术也；我们的改革先驱邓公不也说过：不管它是白猫还是黑猫，只要抓到老鼠就是好猫.教学有法，但无定法.我们的数学课堂教学应该是在“平淡中求实”、“润物中求慢”、“曲径中求通”和“以学生为本”、“人文关怀”中追寻，让我们的数学课堂教学回归理性、回归自然吧.

1.吕学江.走进名师课堂［C］.济南：山东人民出版社，2011.

2.叶须尔.基于过程教育的“一次函数（第一课时）”课例及说明［J］.中学数学（下），2015（11）.

3.潘海平.浅谈主动建构理论下的初中数学概念教学［J］.中学数学（下），2015（10）.

4.刘钰，张德柱.也谈新课改中的误区：忽视或弱化概念教学［J］.中小学数学（中），2015（3）.

5.石生民.初中数学课例点评［C］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

6.崔春近.做好知识“嫁接”慢等思维花开［J］.中学数学教学参考（中），2015（1-2）.

7.裴光亚.数学教师的专业发展：在书房与教室间穿行的教研人生［M］.西安：陕西师范大学出版社，2013.

8.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

*本文系安徽省合肥市2015年度教育科学规划课题《初中函数数学现状分析及难点突破的行动研究》（课题编号：HJG15186）的阶段性研究成果.课题承担人：刘钰，卫德彬.