Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数与Hom-J-quadri代数的构造*1

王　红,杜丽华

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)



Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数与Hom-J-quadri代数的构造*1

王红,杜丽华

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

摘要:主要研究Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数与Hom-J-quadri代数.首先引入Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数和Hom-J-quadri代数的定义,然后讨论了pre-Jordan代数与Hom-pre-Jordan代数、J-dendriform代数与Hom-J-dendriform代数、J-quadri代数与Hom-J-quadri代数的关系,最后给出Hom-Jordan代数、Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数和Hom-J-quadri代数之间的关系.

关键词:Hom-Jordan代数;Hom-pre-Jordan代数;Hom-J-dendriform代数;Hom-J-quadri代数

Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数和Hom-J-quadri代数都与Loday代数有密切的关系.Loday代数指的是具有“分裂结合性”的一系列代数.dendriform代数是第一类并且是最重要的一类Loday代数,是1995年Loday在研究代数K-理论[1]时发现的,并且它在许多数学、物理领域中都有广泛的应用,例如operads理论、同调[2]、Hopf代数、李代数[3]和Leibniz代数[4]、组合学、算法以及量子场等等.J-dendriform代数是具有两个运算的Loday代数的约当代数类似.Quadri代数是由Aguiar和Loday[5]引入的一类著名的Loday代数.本文就是在此基础上给出Hom-pre-Jordan代数、Hom-J-dendriform代数和Hom-J-quadri代数的定义并且研究这些代数的性质.

1预备知识

定义1[6]设A是一个线性空间,A上有双线性的代数运算∘:A⊗A→A,α是A上的代数同态,若满足下面等式:

x∘y=y∘x

(1)

((x∘x)∘α(y))∘α(α(x))=

(α(x)∘α(x))∘(α(y)∘α(x))

(2)

∀x,y∈A,则称(A,∘,α)是Hom-Jordan代数.

定义2一个Hom-pre-Jordan代数(A,*,α)指的是一个线性空间A上定义了一个双线性的乘法:(x,y)→x*y,α:A→A是代数同态,且满足下面的方程(∀x,y,z,u∈A)：

(α(x)•α(y))*(α(z)*α(u))+

(α(y)•α(z))*(α(x)•α(u))+

(α(z)•α(x))*(α(y)α(u))=

α(α(z))*[(x•y)*α(u)]+

α(α(x))*[(y•z)*α(u)]+

α(α(y))*[(z•x)*α(u)]

(3)

α(α(x))*[α(y)*(z*u)]+

α(α(z))*[α(y)*(x*u)]+

[(x•z)•α(y)]*α(α(u))=

α(α(z))*[(x•y)*α(u)]+

α(α(x))*[(y•z)*α(u)]+

α(α(y))*[(z•x)*α(u)]

(4)

其中,x•y=x*y+y*x.

(α(x)•α(y))≻(α(z)≻α(u))+

(α(y)•α(z))≻(α(x)≻α(u))+

(α(z)•α(x))≻(α(y)≻α(u))=

α(α(x))≻[(y•z)≻α(u)]+

α(α(y))≻[(z•x)≻α(u)]+

α(α(z))≻[(x•y)≻α(u)];

(5)

(α(x)•α(y))≻(α(z)≻α(u))+

(α(y)•α(z))≻(α(x)≻α(u))+

(α(z)•α(x))≻(α(y)≻α(u))=

α(α(x))≻[α(y)≻(z≻u)]+

α(α(z))≻[α(y)≻(x≻u)]+

[α(y)•(z•x)]≻α(α(u));

(6)

(α(x)•α(y))≻(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)◇α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)◇α(u))=

α(α(x))≻[α(z)(y◇u)]+

α(α(y))≻[α(z)(x◇u)]+

[(x•y)·z]α(α(u));

(7)

(α(z)·α(y))(α(x)◇α(u))+

(α(x)·α(y))(α(z)◇α(u))+

(α(x)•α(z))≻(α(y)α(u))=

α(α(x))≻[(z·y)α(u)]+

α(α(z))≻[(x•y)α(u)]+

α(α(y))[(x•z)◇α(u)];

(8)

(α(x)•α(y))≻(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)◇α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)◇α(u))=

α(α(x))≻[α(y)≻(zu)]+

α(α(z))[α(y)◇(x◇u)]+

[α(y)·(x·z)]α(α(u)).

(9)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)•α(z))(α(x)α(u))+

(α(z)•α(x))(α(y)α(u))=

α(α(z))[(x•y)α(u)]+

α(α(x))[(y•z)α(u)]+

α(α(y))[(z•x)α(u)];

(10)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)≻α(z))(α(y)*α(u))+

(α(y)≻α(z))(α(x)*α(u))=

α(α(x))[α(z)(y*u)]+

α(α(y))[α(z)(x*u)]+

[(x•y)≻α(z)]α(α(u));

(11)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)•α(z))(α(x)α(u))+

(α(z)•α(x))(α(y)α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

α(α(z))[α(y)(xu)]+

[α(y)•(x•z)]α(α(u));

(12)

(α(z)≻α(y))(α(x)*α(u))+

(α(x)≻α(y))(α(z)*α(u))+

(α(x)•α(z))(α(y)α(u))=

α(α(x))[(z≻y)α(u)]+

α(α(z))[(x≻y)α(u)]+

α(α(y))[(x•z)*α(u)];

(13)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)≻α(z))(α(y)*α(u))+

(α(y)≻α(z))(α(x)*α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

[α(y)≻(x≻z)]α(α(u))+

α(α(z))[α(y)*(x*u)];

(14)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)>α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)>α(u))=

α(α(x))[α(z)(y>u)]+

α(α(y))[α(z)(x>u)]+

[(x•y)·α(z)]α(α(u));

(15)

(α(z)α(y))(α(x)*α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)α(u))+

(α(x)◇α(y))(α(z)∧α(u))=

α(α(x))[α(z)(y

[α(z)(x◇z)]α(α(u))+

α(α(y))[α(z)∧(x*u)];

(16)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)◇α(z))(α(x)∨α(u))+

(α(x)◇α(z))(α(y)∨α(u))=

α(α(x))[(y◇u)α(u)]+

α(α(y))[(x◇u)α(u)]+

α(α(z))[(x•y)∨α(u)];

(17)

(α(z)·α(y))(α(x)>α(u))+

(α(x)·α(y))(α(z)<α(u))+

(α(x)•α(z))(α(y)α(u))=

α(α(x))[(z·y)α(u)]+

α(α(z))[(x·y)α(u)]+

α(α(y))[(x•z)>α(u)];

(18)

(α(x)◇α(y))(α(z)∨α(u))+

(α(z)◇α(y))(α(x)∨α(u))+

(α(x)•α(z))(α(y)α(u))=

α(α(x))[α(y)(z∨u)]+

α(α(z))[α(y)(x∨u)]+

[(x•z)◇α(y)]α(α(u));

(19)

(α(x)◇α(z))(α(y)∧α(u))+

(α(x)·α(y))(α(z)<α(u))+

(α(y)α(z))(α(x)*α(u))=

α(α(x))[α(z)(y∧u)]+

[(x·y)z]α(α(u))+

α(α(y))[α(z)<(x*u)];

(20)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)>α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)>α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

α(α(z))[y>(x>u)]+

[y·(x·z)]α(α(u));

(21)

(α(z)<α(x))(α(y)*α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)<α(u))+

(α(y)◇α(x))(α(z)∧α(u))=

[α(y)≻(z≻u)]α(α(u))+

α(α(z))[α(y)>(x

α(α(x))[α(y)∨(z∧u)];

(22)

(α(z)<α(y))(α(x)*α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)<α(u))+

(α(x)◇α(y))(α(z)∧α(u))=

α(α(x))[(zy)α(u)]+

α(α(z))[(x◇y)<α(u)]+

α(α(y))[(x·z)∧α(u)];

(23)

(α(x)•α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)◇α(z))(α(x)∨α(u))+

(α(x)◇α(z))(α(y)∨α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

[y◇(x◇z)]α(α(u))+

α(α(z))[α(y)∨(x∨u)].

(24)

x*y=x∧y+x∨y=x>y+x

x•y=x·y+y·x=x◇y+y◇x=x*y+y*x.则称(A,,,,,α)是一个Hom-J-quadri代数.

2主要结果

定理1设(A,·)为pre-Jordan代数,α:A→A是pre-Jordan代数的代数同态,定义代数运算*:x*y=α(x·y):则(A,*,α)为Hom-pre-Jordan代数.

证明显然α是代数运算*的代数同态,首先验证(3)式成立.

(α(x)•α(y))*(α(z)*α(u))+

(α(y)•α(z))*(α(x)*α(u))+

(α(z)•α(x))*(α(α(y)*α(u))-

[α(α(z))*[(x•y)*α(u)]+

α(α(x))*[(y•z)*α(u)]+

α(α(y))*[(z•x)*α(u)]=

α3[(x·y)·(z·u)+(y·x)·(z·u)+

(y·z)·(x·u)+(z·y)·(x·u)+

(z·x)·(y·u)+(x·z)·(y·u)]-

[[z·[(x·y)·u]]+[z·[(y·x)·u]]+

[x·[(y·z)·u]]+[x·[(z·y)·u]]+

[y·[(z·x)·u]]+[y·[(x·z)·u]]]=0.

同理可以验证(4)式成立,所以(A,*,α)为Hom-pre-Jordan代数.

证明显然α是(A,≻*,*,α)的代数同态,首先验证(5)式成立.

(α(x)•α(y))≻*(α(z)≻*α(u))+

(α(y)•α(z))≻*(α(x))≻*(α(x)≻*α(u))+

(α(z)•α(x))≻*(α(y)≻*α(u))-

α(α(x))≻*[(y•z)≻*α(u)]-

α(α(y))≻*[(z•x)≻*α(u)]-

α(α(z))≻*[(x•y)≻*α(u)]=

(α(x)≻*α(y))≻*(α(z)≻*α(u))+

(α(y)*α(x))≻*(α(z)≻*α(u))+

(α(y)≻*α(x))≻*(α(z)≻*α(u))+

(α(x)*α(y))≻*(α(z)≻*α(u))+

(α(y)≻*α(z))≻*(α(x)≻*α(u))+

(α(z)*α(y))≻*(α(x)≻*α(u))+

(α(z)≻*α(y))≻*(α(x)≻*α(u))+

(α(y)*α(z))≻*(α(x)≻*α(u))+

(α(z)≻*α(x))≻*(α(y)≻*α(u))+

(α(x)*α(z))≻*(α(y)≻*α(u))+

(α(x)≻*α(z))≻*(α(y)≻*α(u))+

(α(z)*α(x))≻*(α(y)≻*α(u))-

α(α(x))≻*[(y≻*z)≻*α(u)]-

α(α(x))≻*[(z*y)≻*α(u)]-

α(α(x))≻*[(z≻*y)≻*α(u)]-

α(α(x))≻*[(y*z)≻*α(u)]-

α(α(y))≻*[(z≻*x)≻*α(u)]-

α(α(y))≻*[(x*z)≻*α(u)]-

α(α(y))≻*[(x≻*z)≻*α(u)]-

α(α(y))≻*[(z*x)≻*α(u)]-

α(α(z))≻*[(x≻*y)≻*α(u)]-

α(α(z))≻*[(y*x)≻*α(u)]-

α(α(z))≻*[(y≻*x)≻*α(u)]-

α(α(z))≻*[(x*y)≻*α(u)]=0.

同理(6)～(9)成立,因此(A,≻*,*,α)为Hom-J-dendriform代数.

命题1若(A,*,α)为Hom-pre-Jordan代数,定义x∘y=x*y+y*x(∀x,y∈A),则(A,∘,α)是Hom-Jordan代数.

证明显然(1)式成立,只需验证(2)式成立.

((x∘x)∘α(y))∘α(α(x))-

(α(x)∘a(x))∘(α(y)∘a(x))=

[(x*x+x*x)∘a(y)]∘α(α(x))-

[α(x)*α(x)+α(x)*α(x)]∘

[α(y)*α(x)+α(x)*α(y)]=

[((x*x)*α(y))*α(α(x))+

((x*x)*α(y))*α(α(x))+

(α(y)+(x*x))*α(α(x))+

(α(y)*(x*x))*α(α(x))+

α(α(x))*((x*x)*α(y))+

α(α(x))*((x*x)*α(y))+

α(α(x))*(α(y)*(x*x))+

α(α(x))*(α(y)*(x*x))]-

[(α(x)*α(x))*(α(y)*α(x))+

(α(x)*α(x))*(α(x)*α(y))+

(α(x)*α(x))*(α(y)*α(x))+

(α(x)*α(x))*(α(x)*α(y))+

(α(y)*α(x))*(α(x)*α(x))+

(α(y)*α(x))*(α(x)*α(x))+

(α(x)*α(y))*(α(x)*α(x))+

(α(x)*α(y))*(α(x)*α(x))]=0.

参考文献：

[1]Loday J L.Dialgebras in Dialgebras and related operads[J]. Lect. Notes Math.,2002,1763:7-66.

[2]Frabetti A.Dialgebra homology of associative algebras[J]. C. R. Acad. Sci. Paris, 1997, 325:135-140.

[3]孟道骥. 复半单李代数引论[M].北京:北京大学出版社,1998.

[4]Frabetti A. Leibniz homology of dialgebras of matrices[J]. J. Pure. App. Alg., 1998, 129: 123-141.

[5]Aguiar M, Loday J L. Quadri-algebras[J]. J. Pure. App. Alg., 2004, 1991: 205-221.

[6]Yau D. Hom-Maltsev, Hom-Alternative and Hom-Jordan algebras[J], Int. Electron. J. Algebra,2012(11):177-217.

(责任编辑:陈衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.04.009

*收稿日期：2015-10-20

基金项目：辽宁省自然科学基金项目(20140428)

作者简介：王红,辽宁铁岭人,辽宁师范大学数学学院硕士研究生.

中图分类号：O153

文献标志码：A

文章编号：1008-7974(2016)02-0029-04