基于拟不可积哈密顿理论的桥梁动力可靠度计算

赫中营， 王根会， 叶爱君， 夏修身

（1．河南大学土木建筑学院，河南开封475004；2．同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海200092；3．兰州交通大学土木工程学院，甘肃兰州730070）

基于拟不可积哈密顿理论的桥梁动力可靠度计算

赫中营1，2， 王根会3， 叶爱君2， 夏修身3

（1．河南大学土木建筑学院，河南开封475004；2．同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海200092；3．兰州交通大学土木工程学院，甘肃兰州730070）

为提高铁路桥梁动力可靠度计算的效率，考虑结构非线性，基于振型空间，导出了铁路桥梁动能和势能的表达式，进而根据拟Hamilton系统理论确定铁路混凝土桥梁的广义动量、广义速度、Hamilton函数及拟Hamilton系统方程．只考虑横向位移和扭转位移，导出了铁路混凝土桥梁的拟不可积Hamilton系统方程，得到条件可靠度函数应满足的后向Kolmogorov方程及其定量边界、初值条件，并用中心差分法求解该方程．以实际铁路桥梁为算例，用上述方程求解其在列车荷载作用下的动力可靠度．研究结果表明：非线性桥梁结构的动力可靠度和概率密度峰值随桥梁初始能量增大而减小，随桥梁临界能量增大而增大；不同跨度桥梁的分析结果与实际情况相符，说明基于拟不可积Hamilton系统理论计算铁路桥梁的非线性动力可靠度是可行的．

铁路桥梁；动力可靠度；拟不可积Hamilton系统理论；有限差分法

铁路桥梁在服役期间，将不可避免地受到地震、风和车辆等动力作用，动力破坏是其一种主要的失效模式［1］．近年来铁路高速化和重载化发展趋势，使铁路桥梁的动力稳定性显得尤为重要［2］．

经过70余年的发展，国内外结构动力可靠度理论取得了重要成果，并逐步完善．分析方法主要可以分为3类［3］：（1）基于随机振动理论解析解的动力可靠度计算方法；（2）基于Monte-Carlo法的动力可靠度计算方法；（3）将动力可靠度问题转化为系统可靠度问题的计算方法．近年来，李杰和陈建兵等基于概率密度演化理论，建立了结构随机响应和动力可靠度分析的广义概率密度演化方程［4-5］，可求解线性、非线性及随机结构反应与动力可靠度．

由于动力可靠度分析计算的复杂性，对于第1类方法，即使对简单的首超失效问题，也只有SO Rice提出过精确解，而且是针对一定前提下的简单情况［6-7］．中国工程院院士朱位秋等提出的随机动力学与控制的哈密顿理论体系（Hamiltonian system theory）［8-11］，为研究多自由度体系哈密顿系统的首超问题、估计首超概率及平均首超时间提供了新的思路和解决方法．

本文考虑结构非线性，导出了结构的动力方程，基于哈密顿体系理论中的拟不可积Hamilton系统［8，12-15］，获得了铁路桥梁的等价拟不可积Hamilton方程，确定了其在列车荷载作用下的条件可靠度函数及其初始条件和边界条件，并将理论结果应用于2种跨径实际桥梁的动力可靠度分析，验证了该方法的合理性和适用性．

1 非线性桥梁结构的能量表达式

结构质量不随结构的工作状态（线性或非线性）发生变化，结构进入非线性状态后，阻尼会略微增大［16］．若忽略阻尼的变化，则铁路桥梁的非线性动力控制方程为［16］

式中：M和C分别为多自由度体系的质量矩阵和阻尼矩阵；fs（U，˙U）为结构的恢复力；U、˙U和¨U分别为各自由度的相对位移、速度和加速度列向量，是时间t的函数；F（t）为激励荷载．

式（1）左边为结构惯性力和结构恢复力组成的保守力向量，右边为外作用力和阻尼力组成的非保守力向量．对于空间结构，在基于有限元法的能量表达式中，未知参数个数为结点数的6倍，考虑结构的非线性，需采用逐步迭代法计算，而且极其复杂［17］．因此，可考虑对方程（1）进行线性等效，以利用振型叠加方法表示铁路混凝土桥梁的振动位移，则其能量表达式将大大简化．

假设结构屈服后各阶振型不变，且阻尼矩阵也适用正交条件，则非线性结构动力方程可在振型空间解耦为

对于线性结构体系，其动能Ek和势能Ep分别为：

式中：mij和kij分别为广义质量和广义刚度；重复下标表示求和（下同）．

对于非线性结构（此处以单自由度结构体系为例），其非线性恢复力-位移曲线见图1（图中K1为结构屈服前刚度，K2为结构屈服后刚度，uy为屈服位移）．从图1可见，结构进入非线性状态后，其等效线性刚度（Kei、Kej）随位移增大而减小．

结构进入非线性状态后，其势能

式中：Ke为等效刚度；Epy为结构的线性势能；α＝K2／K1；β＝α（u－uy）2／u2；γ＝1＋β．

图1 单自由度结构的恢复力-位移（fs-u）曲线Fig．1 Resilience-displacement of a single-degree-of-freedom structure

参考非线性单自由度体系势能表达式，以振型坐标为参数的非线性多自由度体系的势能

式中，Δkij为修正刚度．

2 铁路桥梁的等价拟不可积Hamilton系统

根据上述能量分析，非线性桥梁结构体系对应的Lagrange函数为

广义动量

式（8）称为由Lagrange函数L生成的Legendre变换．式（8）为非奇异变换、可逆，则其逆变换也是Legendre变换．根据Legendre变换的逆变换定理［18］，式（8）逆变换的生成函数为

式中，p为广义动量向量．

H（q，p，t）即为Hamilton函数，其表达式为

结构以qi和pi为基本变量的Hamilton方程为

记Fdi＝－cij（q，p）∂H／∂pi为随机激励耗散Hamilton系统的耗散力，为耗散Hamilton系统的激励力，可根据Hamilton原理和Legendre变换导出Gauss白噪声激励下n自由度耗散Hamilton系统的运动微分方程

显然，对于桥梁结构等耗散的Hamilton系统，fik不依赖于p，Wong-Zakai修正项为0，从而¯H＝H，则式（12）等价的Ito随机微分方程

式中：σik（q，p）为激励强度；Bk（t）为第k维标准Wiener过程．

设阻尼力和随机激励强度均为ε阶小量，即

则式（13）可写成

式（15）称为拟Hamilton系统，对应于H（q，p）为不可积函数的系统称为拟不可积Hamilton系统．

在物理上，只要振动一周中，随机激励输入系统的能量与阻尼消耗的能量之差与系统本身能量相比很小，即可视为拟Hamilton系统．

根据以上等价拟不可积Hamilton系统理论，铁路混凝土桥梁系统的广义动量、广义速度、Hamilton函数和拟Hamilton方程为

式（19）中的位移、质量、刚度和阻尼分别为广义振型坐标、广义质量、广义刚度和广义阻尼．

将式（3）两边同除以Mi，可得

式中：fi（t）＝φTiF（t）；ξi为第i振型阻尼比；ωi为第i振型频率；Δωi为修正频率．

式（20）的振动结构体系，宏观上可视为各自由度互不耦合的n维单位质量振动体系，该体系的广义质量、广义阻尼和广义刚度分别为

对应的广义动量、广义速度、Hamilton函数和拟Hamilton方程分别为

式中：κk＝fik（q，p）／Mi（k＝1，2，…，m），定义为激励荷载的第k维广义质量．

若某结构体系的Hamilton函数最终能表示为式（24）的形式，且其修正项不可积，则该结构体系即为拟不可积Hamilton系统，可用本文方法求解．

3 铁路混凝土桥梁非线性动力可靠度

考虑铁路混凝土桥梁的横向位移和扭转位移（即考虑列车构架蛇形波激励下的桥梁可靠度），并考虑横向位移与扭转位移的耦合和非线性恢复力，则其修正刚度可表示为能量的函数，即（b为一常量参数）．以随机量（Q，P）代替（q，p），则其运动微分方程为

式中：下标1、2分别表示横向位移和扭转位移各参数；z1和z2分别为横向和扭转激励源，是强度为2Di（i＝1，2）的独立Gauss白噪声；（其中，i＝1，2；mc为一个构架分担的车体质量；mi为第i自由度对应的质量；l为梁的跨径）．

相应的Hamilton函数为

H不可分离，式（26）为拟不可积Hamilton系统．按随机平均法［19］，可得式（26）的平均Ito方程［12］

其中，漂移和扩散系数分别为

式中，H0为Hamilton函数初值（初始能量）．

初始条件：

式中，ΩH为安全域．

定量边界条件：

式中，Hc为Hamilton函数临界值（临界破坏能量）．

求该系统首次穿越的条件可靠性函数的解析解极其困难，这里只能采用有限差分法求解［20］．只考虑在离散能量点和离散时间点的）值，Hη和tλ将平面（t，H0）划分成矩形网格，用相邻点的R值表示R的一阶和二阶导数，代入后向Kolmogorov方程和边界条件，就能由已知初值求出任意点在任意时刻的R值．

4 工程算例

某铁路线允许速度为100 km／h，全线圬工桥梁跨度有23．8和31．7 m两种．跨度23．8 m预应力梁的ANSYS模型及单片T梁的截面特性分别见图2和图3（2种跨度梁截面相同）．

图2 跨度23．8m梁的有限元模型Fig．2 Finite element model for a beam with a span of 23．8m

图3 跨度23．8m梁的单片T梁截面（单位：m）Fig．3 Cross-section of single T-beam（unit：m）

4．1 计算参数取值

对于该混凝土桥梁，取阻尼比ξ＝0．05［1］（最大阻尼比）．激振源（即式（26）中的z）取文献［1］中随机模拟的82 km／h货车构架加速度蛇形波，强度D＝100 cm／s2．文献［19］已证明，该随机蛇行波为平稳Gauss过程，进一步假设其为Gauss白噪声过程（即假设各频带内功率谱密度相同）．取货车质量为80 t／节，每个构架对应的质量40 t［21］；取桥梁横向和扭转一阶振型函数φi（x）＝sin（πx／l），横向位移相应质量m1＝ρAx，扭转位移相应质量m2＝h3m1／3（ρ＝2．6 t／m3为混凝土密度，A＝1．618 m2为T梁截面积，h＝2．46 m为T梁高度）．

用有限元软件ANSYS计算出跨度23．8 m梁的一阶横向和扭转频率分别为4．543和12．277 Hz，跨度31．7 m梁的一阶横向和扭转频率分别为3．036和8．905 Hz［17］．用中心有限差分法（边界处用向前差分法）计算可靠性函数和可靠性概论密度函数时，取N＝51（即50等分Hc），d t＝0．2 ms（计算时长t＝2 s时）或d t＝1．0 ms（计算时长t＝40 s时）．

桥梁临界（破坏）能量Hc可根据规定的振幅界限、列车脱轨能量界限或桥梁结构破坏能量和计算需要确定．鉴于目前对铁路桥梁的临界能量无明确规定，此处临界能量取值仅为分析比较用．

4．2 计算结果分析

用MATLAB编程计算式（30），求解条件可靠性函数R（t）和转移概率密度函数p（t）［22］．跨度23．8 m梁的计算结果见图4和图5．跨度31．7 m梁的可靠性函数R（t）、概率密度函数p（t）与23．8 m梁相似，部分结果见图6和图7．

可见：（1）桥梁初始能量越大，桥梁的可靠性越低；桥梁的临界能量Hc越大，桥梁的可靠性越高；（2）桥梁的初始能量越大，其概率密度的峰值越大，概率密度函数分布越集中；桥梁的临界能量Hc越大，其概率密度函数的峰值越小，概率密度函数分布越均匀．

相同条件下，H0＝0时2种跨度梁可靠性的比较见图8．在初始能量为0，临界能量相等的情况下，跨度31．7 m梁的可靠性比跨度23．8 m梁的大．对于实际桥梁结构体系，其他参数（刚度等）相同时，桥梁的初始能量越大，意味着列车通过桥梁前，桥梁的变形或振动越大，列车通过桥梁时其破坏概率越大，可靠性越低；临界能量大，意味着桥梁变形能力强，可靠性较高．在其他参数相同的情况下，桥梁跨度越大，结构越柔，变形能力越强．

图4 23．8 m梁的可靠度Fig．4 Reliability of the beam with a span of 23．8 m

图5 23．8m梁的转移概率密度Fig．5 Transition probability density of the beam with a span of23．8 m

图6 31．7m梁的可靠度Fig．6 Reliability of a beam with a span of 31．7 m

图7 31．7 m梁的转移概率密度Fig．7 Transition probability density of the beam with a span of31．7m

图8 23．8和31．7 m梁可靠度的比较Fig．8 Comparison between reliabilities of the two beams

从以上分析可知，基于拟不可积Hamilton系统的该铁路混凝土桥梁的动力可靠度函数符合实际情况，说明这种方法是合理的．

5 结 论

本文考虑桥梁结构的非线性，基于振型叠加法，建立了既有铁路混凝土桥梁的等价拟不可积Hamilton系统方程．通过对此系统方程的分析，获得了铁路混凝土桥梁在列车横向激励下以系统能量为唯一参数的条件概率可靠性函数和其定量边界条件、初值条件，借助MATLAB软件使得方程求解非常容易．工程实例的数值分析结果表明，该方法用于铁路桥梁的动力可靠度分析是可行的、合理的，分析结果与实际情况相符．

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（中、英文编辑：付国彬）

Dynam ic Reliability Calculation of Bridge Based on Quasi-non-integrable-Hamiltonian System Theory

HE Zhongying1，2， WANG Genhui3， YE Aijun2， XIA Xiushen3
（1．School of Civil Engineering and Architecture，Henan University，Kaifeng 475004，China；2．State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；3．School of Civil Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

To improve the computation efficiency of bridge dynamic reliability，kinetic energy and potential energy of a railway bridge with nonlinear characteristics were expressed in the modal space，and the generalized momentum，the generalized velocity，the Hamiltonian function and the quasi-Hamiltonian system equation were established based on the quasi-Hamiltonian system theory．A quasinon-integrable-Hamiltonian equation for a railroad concrete bridge was derived just considering its lateral and torsion displacements，and the backward Kolmogorov（BK）equation governing conditional reliability function and its corresponding quantitative boundary and initial conditions were obtained，and the central finite difference method was introduced to calculate the BK equation．The case research results show that the dynamic reliability of a nonlinear bridge structure and the peak value of probability density decrease as the primary energy increases，while they increase as the limit energy raises；and the contrastive analysis results of railway bridges with different spans are agreed with the actual situations，illustrating that the dynamic reliability calculation of railway bridges based on thequasi-non-integrable-Hamiltonian system theory is feasible．

railway bridge；dynamic reliability；quasi-non-integrable-Hamiltonian system theory；finite difference method

U24

A

0258-2724（2016）01-0050-07

10．3969／j．issn．0258-2724．2016．01．008

2014-12-15

国家973计划资助项目（2013CB036302）；国家自然科学基金资助项目（51368033）

赫中营（1980—），男，讲师，博士，研究方向为桥梁抗震与振动控制、桥梁健康诊断与维修加固，E-mail：0hezhy89＠tongji．edu．cn

赫中营，王根会，叶爱君，等．基于拟不可积哈密顿理论的桥梁动力可靠度计算［J］．西南交通大学学报，2016，51（1）：50-56．