反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法的教学初探

王伟芳

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法的教学初探

王伟芳

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

阿贝尔和迪利克雷判别法是学生学习的一个难点，本文以反常积分为例，指导学生如何牢固准确地掌握定理的诸多条件并熟练应用。

反常积分；阿贝尔；迪利克雷

在数学分析的教材[1-5]中，一般都是直接给出判别反常积分收敛的阿贝尔和迪利克雷判别法，然后进行证明。这让学生在学习的过程中对定理的印象不深刻，应用有困难。事实上，反常积分以及含参量反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法的得出都是根据柯西准则和积分第二中值定理。利用倒推法，从结论出发分析条件，能够使学生更加清楚定理的得出过程，从而准确掌握定理的内容。

定理1[1]（积分第二中值定理）设函数f在[a,b]上可积。若g为单调函数，则存在ξ∈[a,b]，使得

1 反常积分

反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法是要得到形如

的反常积分的收敛性结论。根据柯西收敛准则，要使

收敛，需证明

而要把f(x)和g(x)分开，需要用积分第二中值定理。积分第二中值定理要求其中一个函数单调，假设g(x)单调。从而，∃ξ∈[u1,u2]，使得

成立，只需

成立，而要使上式成立，有两种方法：（1）使

要实现（1），只要

收敛，g(x)在［a,+∞）上有界即可，再加上运用积分第二中值定理时要求g(x)单调，就得到了阿贝尔判别法的条件。

要实现（2），只要

在［a,+∞）有界，g(x)在［a,+∞）上当x→+∞时趋于0即可，再加上运用积分第二中值定理时要求g(x)单调，就得到了迪利克雷判别法的条件。

定理2[1]（阿贝尔判别法）若

收敛，g(x)在［a,+∞）上单调有界，则

定理3[1]（迪利克雷判别法）若

例1 证明反常积分

故此反常积分仅是无穷积分。根据无穷积分的区间可加性，只需证明

收敛。对于一般无穷积分，考虑阿贝尔和迪利克雷判别法，关键选取f(x)和g(x)，使得

要么收敛，要么其变上限定积分在［1,+∞）上有界。注意到

故选取f(x)=sinx。

证明由于对任意的u≥1，有

且1/x在［1,+∞）上当x→+∞时单调递减趋于0，由迪利克雷判别法，反常积分

2 含参量反常积分

含参量反常积分的阿贝尔和迪利克雷判别法是要得到形如

的含参量反常积分的一致收敛性结论。根据柯西收敛准则，要使

而要把f(x,y)和g(x,y)分开，需要用积分第二中值定理。积分第二中值定理要求其中一个函数单调，假设g(x,y)关于积分变量y单调。从而，∃ξ∈[u1,u2]，使得

成立，而要使上式成立，有两种方法：

（1）使

要实现（1），只要

在I上一致收敛，g(x,y)在关于x在I上一致有界即可，再加上运用积分第二中值定理时要求g(x,y)关于积分变量y单调，就得到了阿贝尔判别法的条件。

要实现（2），只要

对参量x在I一致有界，g(x,y)当y→+∞时对参量x一致收敛于0即可，再加上运用积分第二中值定理时要求g(x,y)关于积分变量y单调，就得到了迪利克雷判别法的条件。

定理4[1]（阿贝尔判别法）若

在I上一致收敛，对每个x∈I，g(x,y)关于积分变量y单调，且g(x,y)在关于x在I上一致有界，则

收敛。

定理5[1]（迪利克雷判别法）若

对参量x在I一致有界，对每个x∈I，g(x,y)关于积分变量y单调，且当y→+∞时g(x,y)对参量x一致收敛于0，则

收敛。

例2 证明含参量反常积分

在［0,+∞）上一致收敛。

分析要利用阿贝尔或迪利克雷判别法判别含参量反常积分的一致收敛性，关键是选取f(x,y)和g(x,y)，使得

要么在［0,+∞）上一致收敛，要么其变上限定积分对参量y在［0,+∞）上一致有界。注意到

不含参量，从而反常积分

的收敛为一致收敛，故取

证明由于反常积分

的收敛，从而关于参量y在［0,+∞）上一致收敛，函数g(x,y)=e-xy对∀y∈[0,+∞)单调，且对∀y∈[0,+∞)，∀x∈[0,+∞)，有

故由阿贝尔判别法，

在［0,+∞）上一致收敛。

对于数项级数以及函数项级数，阿贝尔和迪利克雷判别法的得出都是根据柯西准则和阿贝尔引理。类似前面的讨论，我们易得出无穷级数阿贝尔和狄利克雷判别法的条件。这样，数学分析中四次出现的阿贝尔和狄利克雷判别法也就很容易掌握了。

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2010:271-282.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2010:192-196.

[3] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(下册)[M].北京:高等教育出版社,2008:249-308.

[4] 欧阳光中,姚允龙.数学分析(下册)[M].上海:复旦大学出版社,1983:734-738.

[5] 张筑生.数学分析新讲(第二册)[M].北京:北京大学出版社, 1990:133-144.

（责任编辑、校对：田敬军）

The Teaching Exploration of Abel and Dirichlet Discriminance on Improper Integral

WANG Wei-fang
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

Most students have difficulty in studying Abel and Dirichlet discriminance. This paper takes the abnormal integral as an example to guide students how to grasp the conditions of the theorems and their application.

improper integral; Abel; Dirichlet

O172.2

A

1009-9115(2016)02-0027-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.008

唐山师范学院科学研究基金项目（2016C12）

2015-10-12

王伟芳（1984-），女，河北定州人，硕士，讲师，研究方向为小波分析。