复Swift-Hohenberg方程在一些Banach空间X^α中解的渐近行为

徐长俊

（江苏联合职业技术学院 盐城机电分院，江苏 盐城 224005）

复Swift-Hohenberg方程在一些Banach空间X^α中解的渐近行为

徐长俊

（江苏联合职业技术学院 盐城机电分院，江苏 盐城 224005）

研究复Swift-Hohenberg方程在一些Banach空间X^α中解的渐近行为时，不仅仅对整体解的存在性进行证明，同时也是对整体吸引子A的存在性进行证明。并结合本文的主要观点，对指数吸引子M的存在性证明，将A有限的分形维数得到。在空间中挤压性质结合中，本文的框架不成立，在M构造中，注重Banach空间的相关X^α中解应用。

Swift-Hohenberg方程；Banach空间；X^α解；渐近行为

1 引言

基于一种Swift-Hohenberg方程中的解分析，往往存在长时间的行为，在对解的渐近行为预测的过程中，更加注重整体吸引子的研究[1]。基于一种Swift- Hohenberg方程中的加权Sobolev空间整体中的一种吸引子的存在性研究中，更是注重整体吸引子分形维数之间差异的变换，不同的整体吸引子往往存在一定的缺点，在轨道速度吸引的过程中，其扰动敏感性相对较强[2]。1-维RSHE惯性流形之间存在性证明的过程中，基于一种所谓的普间隙性质，注重惯性流形之间存在性的角度[3]。通过对Swift-Hohenberg方程的工作情况进行分析，空间维数基本上小于2，在三次Swift-Hohenberg方程方程中，如式(1)所示。

对于NR中的有界开集Ω往往存在一定的光滑边界，而系数主要是一种复数，也即是

实数用δ表示。对于未知函数而言，

主要是一种复标量，基于变量之间的一种含义，在结合具体物理背景的过程中，结合边界条件的相关初始条件，如式(2)和式(3)所示。

Γ的外法线方向也即是n。在Banach空间X^α中解的渐近行为研究中，主要是结合空间

通过对X^α解的相关局部存在性进行分析中，将其在右半轴进行延伸，将整体吸引子的一种存在性进行得到。最后基于X^α中指数吸引子的存在性进行证明和分析，并结合Hilbert空间的形式，对X^α解的一种局部存在关系进行分析，基于唯一性的主要特点，结合相关的验证，对X^α的存在性进行证明，将整体吸引子的存在性进行得到，最后基于指数吸引子的全面存在，将整体吸引子分形维数的一种上界估计得出。

2 解的局部唯一性和存在性分析

解的局部唯一性证明的过程中，往往需要结合存在性进行全面的证明。对于1＜p＜∞，假设ppX=L=L(Ω)在某种程度上主要是Ω的一种复pL空间，其中的范数，将其记为：

其中δ∈R，将其在Ω内的一种广义复中的Sobolev空间进行记载，这种范数，也即是，有着一定的特别性[4]。基于Banach空间中Y的一种范数，也即是为。

线性算子的定义为：

其中基于分数次幂的一种形式，存在空间赋予的有图范数基于Xα依旧赋予相关的范数，为，设为：

基于抽象的cauchy初值问题的理论，如式(4)所示

基于嵌入结果，如式(5)所示

基于Xα中的有界子集F主要是Lipschitz连续性的一种状态，基于这一事实，结合Xα的有界子集U，如式(6)所示。

将其进行进一步的总结，也即是一种简单化的形式，通过一种简单的定理，得到一定唯一解的过程。

定理1对于任意的u0∈Xa,其中max的范围为

存在唯一解Xα，也就是(,0) u=u t u定义，最大存在区间[0,Tmax]，则有，Tmax=+∞，基于一种Tmax＜+∞，也即是：

3 解的整体存在性和整体吸引子的存在性分析

Xa解在实际的应用过程中，基于一种整体存在性的原则，结合解在空间中的相关应用，做好整体吸引子存在性的分析[5]。

引理1假如参数β，γ，μ的一些实部为正，同时u0∈H，u作为已终结也即是：

主要是一种正常数。

引理2基于引理1的一种假设，假设u0∈H2，在假设的过程中，并假设u0∈H3，则

对于任意的初值，u0∈Xα，在一个整体Xα解u(t,u0)，将Xα上的相应部分，进行定义：

定义的证明过程中，做出相关的假设，假设Banach空间中存在X，同时A: D(A)→X作为X的一种扇形和正算子，在假设F：Xα→X作为Xα中有界子集中的一种Lipschitz连续性的一种函数。

定理2假设参数β，γ，μ实部为正同时，p≤2，基于X=LP且p＞2，在合适α选择的过程中，XαaH3，在0∈Xα的过程中，其中Y=H3，基于同样的方法，将会使得Xα解的整体存在，并使得整体吸引子存在。

4 x^α内的指数吸引子分析

指数吸引子存在性证明的过程中，首先将指数吸引子的定义给出，结合一个紧中的连通子集，

同时，T一个紧的连通整体吸引力为A[6]。

定义一个紧集M主要是(T(t), x)中的一个指数吸引子，基于A⊆M⊂X ，同时T( t) M⊆M,∀t≥0；对于M的分形维数而言，有着有限性的特点，也即是dimfM＜+∞；对于M而言，指数速度在对X所有轨道中进行吸引过程中，存在一点C0，同时C1＞0，并使得

Hausdorff半距也即是X内中的distx[7]。

由于M有着一个紧的吸收集，基于x的拓扑下，对于A而言，往往存在一定的分形维数。在指数吸引子存在性证明的过程中，通过对Xα进行假设，并在构造过程中，产生Xα的紧不变集x[8]。

假设推导的过程中，

5 结语

通过本文对复Swift-Hohenberg方程在一些Banach空间X^α中解的渐近行为的研究，在结合定理和引理的应用中，表明解的局部存在唯一性和存在性，同时解的整体同样也存在一定的存在性，基于整体吸引子也有着存在性的特点[9]。本文的研究主要结合前人的学术角度，并作出了相关的证明，为现代化高数微分方程的研究提供了相关的理论基础和现实意义。

[1] 朱晓慧.一类分数阶微分方程反周期边值问题解的存在性[J].金陵科技学院学报,2011,27(3):7-9.

[2] 韩英豪,程艳丽.在RN上的具有线性记忆项的非线性反应扩散方程的吸引子的Hausdorff维数和分形维数估计[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2011,34(2):129-136.

[3] 马超.具强阻尼和临界指数随机plate方程的吸引子[D].西南交通大学,2014:11-15

[4] 任怡静.关于无界区域上具有记忆项的半线性耗散波动方程的整体吸引子[D].辽宁师范大学,2012:8-12

[5] Liu Yong-quan, Guo Wei-ping, Ji You-qing. Weak Convergence Theorems for Nonself Mappings[J]. Communications in Mathematical Research, 2015(1): 28-56.

[6] Wang Xiong-rui, Quan Jing, Ji You-qing. Strong Convergence for a Countable Family of Total Quasi-φ-asymptotically Nonexpansive Nonself Mappings in Banach Space[J]. Communications in Mathematical Research, 2015(1): 79-458.

[7] LUO XianFa, LI Chong. Existence of best simultaneous approximations in L_p(S, Σ, X) without the RNP assumption [J]. Science China(Mathematics), 2015(4): 129- 214.

[8] M. R. Haddadi. Some Results on the Simultaneous Approximation[J]. Analysis in Theory and Applications, 2014(4): 399-404.

[9] 徐长俊.一些Banach空间内复Swift-Hohenberg方程的指数吸引子[J].唐山师范学院学报,2015,37(5):6-8.

（责任编辑、校对：赵光峰）

The Asymptotic Behavior of the Complex Swift-Hohenberg Equation in Banach Space X^α Solution

XU Chang-jun
(Jiangsu Union Technical Institute, Yancheng College of Mechatronic Technology, Yancheng 224005, China)

This paper studies the asymptotic behavior of complex Swift-Hohenberg equation in Banach space X^α of the solution. Not only the existence of global solutions was proved, but also the the existence of global attractor of the A. Combined with the main point of this paper, the exponential attractors for the proof of the existence of M and the fractal dimension A of the limited, were obtained. Extrusion in the space character of the combination, the frame of this paper is established in M structure, which is the solution to Banach spatial correlation X^α.

Swift-Hohenberg equation; Banach space; X^α solution; asymptotic behavior

O175

A

1009-9115(2016)02-0014-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.004

2015-07-28

徐长俊（1978-），男，江苏盐城人，硕士研究生，讲师，研究方向为高等数学及教学。