关于8p3阶群的一个注记

陈松良，蒋启燕

（1. 贵州师范学院 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550018；2. 贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550001）

数学与应用数学研究

关于8p3阶群的一个注记

陈松良1，蒋启燕2

（1. 贵州师范学院 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550018；2. 贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550001）

设p为奇素数（p≠3, 7），G是8p3阶群。利用有限群的局部分析方法，证明了当G的Sylow2-子群为8阶初等交换群E8时G恰有21个彼此不同构的类型。结合其他文献的分类结果，获得了8p3阶群G的同构分类的完整结果。

有限群；同构分类；群的构造

1 引言

设p是奇素数（p≠3，7），文献[1]早在1995年就给出了阶为8p3的群的分类结果，但没有发表详细证明过程；2005年文献[2]重新讨论并确定了Sylow 2-子群为交换群的8p3阶群的构造。但[1]与[2]的结论是不一致的，孰是孰非？值得澄清。文[3-6]应用不同于[2]的又便于操作和理解的方法，分别确定了Sylow 2-子群为8阶循环群C8，8阶二面体群D8，8阶四元数群Q8，型为(4, 2)的8阶交换群C4×C2的8p3阶群的构造。本文将继续应用不同于[2]的方法，确定Sylow 2-子群为8阶初等交换群E8的8p3阶群的构造，从而重新确定了阶为8p3的群的完全分类。我们的结果与文献[1]是一致的，我们有下面的定理：

定理1 如果G是Sylow 2-子群为8阶初等交换群E8的8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3，7），那么G恰有21个彼此不同构的类型。

定理2如果G是8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3，7），那么：

1）当p≡1(mod 8)时，G恰有245个彼此不同构的类型；

2）当p≡5(mod 8)时，G恰有199个彼此不同构的类型；

3）当p≡3或7(mod 8)时，G恰有145个彼此不同构的类型。

定理3如果G是Sylow 2-子群为可换群的8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3，7），那么：

1）当p≡1(mod 8)时，G恰有182个彼此不同构的类型；

2）当p≡5(mod 8)时，G恰有136个彼此不同构的类型；

3）当p≡3或7(mod 8)时，G恰有82个彼此不同构的类型。

2 若干引理

引理1 如果G是Sylow 2-子群为8阶循环群C8的8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3，7），那么：

1）当p≡1(mod 8)时，G恰有87个彼此不同构的类型；

2）当p≡5(mod 8)时，G恰有41个彼此不同构的类型；

3）当p≡3或7(mod 8)时，G恰有21个彼此不同构的类型。

证明见文献[3]。

引理2如果G是Sylow 2-子群为8阶二面体群D8的8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3, 7），那么G恰有40个彼此不同构的类型。

证明见文献[4]。

引理3如果G是Sylow 2-子群为8阶四元数群Q8的8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3, 7），那么G恰有23个彼此不同构的类型。

证明见文献[5]。

引理4如果G是Sylow 2-子群是型为(22, 2)的8阶交换群C4×C2的8p3阶群，其中p是一个奇素数（p≠3，7），那么：

1）当p≡1(mod 4)时，G恰有74个彼此不同构的类型；

2）当p≡3(mod 4)时，G恰有40个彼此不同构的类型。

证明见文献[6]。

3 定理的证明

首先，给出定理1的证明。在下文中，总假定p是奇素数（p≠3, 7），G是8p3阶群，其Sylow 2-子群为8阶初等交换群

其中

由Sylow定理易知，G的Sylow p-子群是正规子群，从而G是P与E8的半直积。为叙述方便，我们用|G|,|g|分别表示群G和元素g的阶，且对元素g，h，记

由文献[7]知p3阶群有5种不同构的类型：

1）循环群

其中

2）型为(p2, p)的交换群

3）初等交换群

4）指数是p2的非交换群P4=〈a, b〉，其中

5）指数是p的非交换群P5=〈a, b, c〉，其中

由于定理1的证明较长，我们分为5个引理来描述，而且为了简化记号，我们将E8简记为E。

引理5设p是奇素数（p≠3，7），G的Sylow 2-子群为E而Sylow p-子群为循环群P1，那么G恰有2个彼此不同构的类型。

证明因为P1的自同构群Aut(P1)是阶为p2(p－1)的循环群，而E/CE(P1)同构于Aut(P1)的一个子群，所以：

1）如果CE(P1)＝E，则G是P1与D的直积；

2）如果CE(P1)≠E，那么CE(P1)必是4阶子群，不妨设

那么x诱导P1的一个2阶自同构，于是G有如下构造：

引理5证毕。

引理6设p是奇素数（p≠3，7），G的Sylow 2-子群为E而Sylow p-子群为型为(p2, p)的交换群P2，那么G恰有5个彼此不同构的类型。

证明类似于文献[8]，易证得G是超可解群。再由[9]之定理8.4.6，不妨设〈a〉，〈b〉都是E-不变的。由此得E/CE(a)，E/CE(b)分别同构于Aut(〈a〉)与Aut(〈b〉)的某个子群，所以G有如下构造：

1）当CE(a)＝CE(b)＝E，显然G是P2与E的直积。2）当CE(a)＝E，CE(b)＝〈x, y〉时，G有如下构造：

3）当CE(a)＝〈x, y〉，CE(b)＝E时，G有如下构造：

4）当CE(a)，CE(b)是相同的4阶子群时，不妨设

则G有构造：

5）当CE(a)，CE(b)是不同的4阶子群时，不妨设

则G有如下构造：

综上所述知，引理6成立。

引理7设p是奇素数（p≠3，7），G的Sylow 2-子群为E而Sylow p-子群为p3阶初等交换群P3，那么G恰有8个彼此不同构的类型。

证明由[9]之定理8.3.3，不难证明G是超可解的，再由[9]之定理8.4.6，我们不妨设〈a〉，〈b〉，〈c〉都是E-不变的。

1）当CE(a)＝CE(b)＝CE(c)＝E时，G是P3与E的直积。

2）当CE(a)，CE(b)，CE(c)中只有一个不是E时，不妨设

CE(c)≠E，

则CE(c)必是E的4阶子群，不妨设

CE(c)＝〈x, y〉，

于是G有如下构造：

3）当CE(a)，CE(b)，CE(c)中只有一个是E时，不妨设

CE(a)＝E，

则

（1）当CE(b)＝CE(c)时，不妨设CE(b)＝CE(c)＝〈x, y〉，

G有如下构造：

（2）当CE(b)≠CE(c)时，不妨设

G有如下构造：

4）当CE(a)，CE(b)，CE(c)都不是E时，则

（1）当CE(a)＝CE(b)＝CE(c)时，不妨设其为〈x, y〉，

于是G有如下构造：

其中

（2）当CE(a)，CE(b)，CE(c)中恰有2个相同时，不妨设

于是G有如下构造：

其中

（3）当CE(a)，CE(b)，CE(c)彼此不同时，若

则不妨设

CE(a)＝〈x, y〉，CE(b)＝〈x, z〉，CE(c)＝〈x, yz〉，于是G有如下构造：（4）当CE(a)，CE(b)，CE(c)彼此不同时，若CE(a)∩CE(b)∩CE(c)＝Φ，

则不妨设

于是G有如下构造：

综上所述知，引理7成立。

引理8设p是奇素数（p≠3，7），G的Sylow 2-子群为E而Sylow p-子群为指数是p2的p3阶非交换群P4，那么G恰有2个彼此不同构的类型。

证明因为P4的中心C(P4)＝〈ap〉是p阶群，而又不难证明〈ap,b〉是P4的唯一的p2阶初等交换子群，从而它是P4的特征子群，于是它又必是G的正规子群。由此可见，G必是超可解群。类似于文献[8]，由[9]之定理8.4.6知，可设〈a〉，〈b〉都是E-不变的。

1）当CE(a)＝CE(b)＝E时，显然G是P4与E的直积。

2）当CE(a)＝〈x, y〉时，必有az＝a-1。将z作用在[a,b]＝ap的两边，易得bz＝b，于是CE(b)＝E，故G有如下构造：

证毕。

引理9设p是奇素数（p≠3，7），G的Sylow 2-子群为E而Sylow p-子群为指数是p的p3阶非交换群P5，那么G恰有4个彼此不同构的类型。

证明因为

所以〈c〉是G的正规子群，从而P5/〈c〉是E-不变的。如果E在P5上的作用是平凡的，则G是P5与E的直积。如果E在P5上的作用是非平凡的，则由[9]之定理8.3.3，不难证明G是超可解的，再根据[9]之定理8.4.6，我们不妨设〈a〉，〈b〉都是E-不变的，于是CE(a)与CE(b)中至少有一个是4阶初等交换子群。注意到a，b在P5中是对称的，因此G有如下几种不同构的类型：

1）当CE(a)＝E，CE(b)＝〈x, y〉时，必有

再将z分别作用在

的两边得

于是G有如下构造：

2）当CE(a)＝CE(b)＝〈x, y〉时，必有

于是cz＝c，G有如下构造：3）当CE(a)＝〈x, y〉，CE(b)＝〈x, z〉时，必有

G有如下构造：

综上所述知，引理9成立。

由引理5至引理9，易知定理1成立。由定理1及引理1至引理4，即得定理2。由定理1，引理1与引理4，可得定理3。

注：当p＝3，7时，8p3阶群的构造已确定，见文献[10-12]。

[1] 肖文俊,谭忠.阶为23p3的群的构造[J].厦门大学学报(自然科学版),1995,34(5):845-846.

[2] 蔡琼.23p3阶群的构造[J].数学杂志,2005,25(4):449-452.

[3] 陈松良,欧阳建新,莫贵圈.论Sylow 2-子群是循环群的8p3阶群的完全分类[J].贵州师范学院学报,2014,30(12):1-5.

[4] 陈松良,欧阳建新,李惊雷.论Sylow 2-子群是D8的8p3阶群的完全分类[J].周口师范学院学报,2015, 32(5):1-5.

[5] 陈松良,蒋启燕.论Sylow 2-子群是Q8的8p3阶群的构造[J].阜阳师范学院学报,2015,32(1):16-19.

[6] 陈松良,蒋启燕,崔忠伟.一类有可换Sylow 2-子群的8p3阶群的完全分类[J].井冈山大学学报(自然科学版),2015,36(4): 1-6.

[7] 张远达.有限群构造[M].北京:科学出版社,1982.

[8] 陈松良,李惊雷,欧阳建新.论p3q阶群的构造[J].山东大学学报(理学版),2013,48(2):27-31.

[9] H Kurzweil, B Stellmacher. The Theory of Finite Groups[M]. Springer-Verlag, New York, Inc. 2004.

[10] 陈松良.2744阶群的构造[J].数学学报(中文版),2013,56(6): 993-1008.

[11] 陈松良.关于216阶群的完全分类[J/OL].数学杂志,http:// www.cnki.net/kcms/detail/10.13548/j.sxzz2014.0113001.ht ml.

[12] 陈松良,欧阳建新,李惊雷.论60阶群的构造[J].唐山师范学院学报,2012,34(2):22-24.

（责任编辑、校对：赵光峰）

A Note on the Groups of Order 8p3

CHEN Song-liang1, JIANG Qi-yan2
(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China; 2. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang 550001, China)

Let p be an odd prime and G be groups of order 8p3, we have shown that G has 21 nonisomorphic structures if its Sylow 2-subgroup is elementary Abelian 2-group E8by means of local analysis of finite groups. With the help of the references published, we have gained the perfect results on the isomorphic classification of G with order 8p3.

finite group; isomorphic classification; structure of group

O152.1

A

1009-9115(2016)02-0001-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.001

贵州省科学技术基金（黔科合J字[2014]2142号）

2016-01-09

陈松良（1964-），男，湖南双峰人，博士，教授，研究方向为代数学。