常系数线性齐次矩阵列及函数列递归关系的解法

张 庆，王朝霞

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

常系数线性齐次矩阵列及函数列递归关系的解法

张 庆，王朝霞

（唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000）

常系数线性齐次数列递归关系有求通项的一般方法，对于常系数线性齐次矩阵列递归关系及函数列递归关系目前还没有这方面的研究。本文把这一方法推广到常系数线性齐次矩阵递归关系及函数列递归关系上，给出了这两类递归关系的通项公式。

递归关系；特征根；矩阵列；函数列

1 预备知识

定义1[1]若数列｛un｝n≥0满足递归关系

其中k,a1,a2,Λ,ak是与n无关的常数，且ak≠0，（1）称为常系数线性齐次递归关系；

使得上述递归关系成立的un的通项公式，称为递归关系的解。称

为(1)的特征方程，特征方程的k个根q1,q2,Λ,qk称为(1)的特征根。

特征根可以是复数，也不一定互异。但因ak≠0，故所有特征根都非零。

引理1[1]若递归关系(1)的特征方程(2)有k个不同的根q1,q2,q3,Λqk则

是递归关系（1）的通解，其中c1,c2,Λ,ck为任意常数。

引理2[1]若递归关系(1)的特征方程(2)共有t个不同的根q1,q2,Λ,qt，它们的重数分别为m1,m2,Λ,mt，则递归关系(1)的通解为：

为任意常数。

上述定义及引理中数列的项un是数，下面要把上述结果推广到矩阵列和函数列。

2 主要结果

2.1 常系数线性齐次矩阵列递归关系的解法

定义2若s×t矩阵列｛An｝n≥0满足递归关系

虽然非齐次数列的递归关系没有一般的解法，但某些非齐次数列的递归关系可以利用常系数线性齐次递归关系来解[2]。同样，某些非齐次矩阵递归关系、函数列递归关系也可以利用常系数线性齐次矩阵递归关系、函数列递归关系来解，只举一例。

例5已知定义域为I的实函数列｛fn（t ）｝满足递归关系：

并且对任意的t∈I，f0（t）＞0，f1（t）＞0，求函数列fn（t）的通项。

这是一个常系数线性齐次函数列递归关系。特征方程为：

实际上，如果定义域为I的实函数列｛fn（t）｝，满足形如

的递归关系，n≥2，并且对任意的t∈I，f0（t）＞0，f1（t）＞0，都可以按例5的方法求出fn（t）通项。

[1] 陈景林.阎满富.组合数学与图论[M].北京:中国铁道出版社, 2000:60-66.

[2] 卢开澄,卢华明.组合数学(第4版)[M].北京:清华大学出版社,2006:61-67.

（责任编辑、校对：赵光峰）

The Solution of Constant Coefficient Linear Homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function Recursive Relation

ZHANG Qing, WANG Zhao-xia
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Normal College, Tangshan 063000, China)

There is a method of finding a general form for solution of recursive relation of constant coefficient linear homogeneous series, however, there is no research on area of constant coefficient linear homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function recursive relation. This paper will extend the method for the constant coefficient linear homogeneous series to constant coefficient linear homogeneous Sequence of Matrix & Sequence of Function recursive relation and two sets of general form formula was given for above recursive relation.

recursive relation; characteristic root; sequence of matrix; sequence of function column

O157

A

1009-9115(2016)02-0020-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2016.02.006

唐山师范学院教学改革项目（JJ2014009）

2015-11-01

张庆（1960-），男，上海松江人，教授，研究方向为函数论。