构建逻辑连贯，重视数学方法

谢建宝

摘 要：弧长与扇形面积的内容要点是计算。经历探索两个计算公式的过程，体验特殊—一般—特殊获取新知识过程中的重要作用；力求学生参与到课堂教学的每一个环节，提高课堂教学的实效性，重视学习方法的引导，积累学生的数学活动的经验。

关键词：弧长与扇形面积；数学方法；教学实录；教学评析

【教学内容】

人教版课标教材九年级上册“第二十四章·圆”第14课时。

【内容分析】

圆是日常生活中常见的图形之一，也是平面几何中的基本图形，其性质（轴对称、旋转不变性）在生产、生活领域有着广泛的应用。它不仅在几何中有重要的地位，而且是进一步学习数学以及其他学科的重要基础。“弧长与扇形面积”是在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导得出。应用这些公式，就可以计算一些与圆有关的简单组合图形的面积，这些计算不仅是几何中基本的计算，也是日常生活中经常要用到的，运用这些知识也可以解决一些简单的实际问题。此外，公式中的变形如S扇=lr（圆锥的侧面展开图面积计算）及有关计算在学生中体现出一定的难度的。

【教学目标】

1.了解扇形的概念，理解n的圆心角所对的弧长与扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用。

2.从圆的周长、面积公式入手，经历特殊到一般的过程，由微观到宏观，探究从n的圆心角所对的弧长l=，并进而类比探究扇形面积S扇=的计算公式。

3.结合教学过程，是学生认识特殊到一般之间的关系，经历探索过程，培养学生的探索能力和应用公式解决问题的能力。

【教学重、难点】

重点：弧长和扇形面积公式的推倒过程以及公式的应用。

难点：弧长和扇形面积公式的探索以及熟练应用公式解决实际问题。

【教学过程实录】

（一）情境引入

师：（展示课件）同学们，屏幕上展示的是学校召开运动会的场景“在田径200米运动跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯道的展直长度相同吗？”

生众：不相同。

师：同学们知道其中的缘由吗？（老师询问的眼光）

生1：因为每一条弯道的半径不相同。

师：只有这个条件？

生2：在相同的圆心角的前提下，“每一条弯道的半径不相同”。

师：同学们已经看出问题的本质了。

（二）新知探究

师：在本章第一课时可知，弯道这一段曲线长叫做弧长，刚才同学们的回答中可以总结出：一段弧的长度由何因素决定？

生3：这段弧所对的圆心角和半径。

师：很好！这就是本课时我们要学习和解决的第一个问题。（多媒体展示如下问题）

思考1：①半径为R的圆的周长是多少？

②圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？

③1°的圆心角所对的弧长是多少？2°、3°、…140°呢？

④n°的圆心角所对的弧长是多少？

⑤（公式得出后展示）对于公式l=，当r一定时，你能从函数的角度来理解弧长与圆心角的关系吗？

（上述问题的展示，应该是循序渐进的，学生都能按照逻辑思考并回答问题，对弧长的概念巩固及其计算，由一般到特殊的认识过程，思路是清晰可见的。）

（多媒体展示三道选择练习题，促使巩固弧长公式l=）

例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L（单位：mm，精确到1mm）。

师：通过前述内容的展示，审清此问题题意，应如何切题解决？

生4：根据题意图示，此弯管应分三个部分计算：两直一弯。

师：主要针对计算的是哪一部分？

生众：中间弯曲的部分，也就是弧长的计算。

（由生口述，教师板演）

解：由弧线长公式可得，弧AB的长：l==500π≈1570（mm）

∴所求的管道的展直长度为2970 mm

师：好！弧长公式的推倒及巩固到目前为止基本上完成，也达到了目的。可是再倒回去细看，不知道同学们是否注意到公式中的n和180都没有带上“°”（度）这个符号。（同学们的表情是惊讶的）

师：回顾推倒公式l=过程中，n是1°的圆心角的倍数，n不带单位，180也是如此。

（（1）使学生明确弧是圆的一部分。因为引导学生分析弧长与圆周长之间的关系。使学生理解圆周角是1°的弧长等于圆周长的是建立在弧长公式的关系上，从而推出n°的弧长公式。让学生体会部分与整体之间的关系，并能应用比例的方法解决部分与整体之间的关系。（2）设计文体，意在让学生加強新旧知识的联系，明确在同圆中，弧长是随所对的圆心角的变化而变化的，当圆心角一定时，弧长也随之确定。）

（配以适当的巩固练习）

师：接下来我们一起研究本节课的另外一个问题：扇形的面积。

首先结合图形认识扇性的定义：（教师板书）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

（出具一组图形，由学生辨别出哪些图形是扇形）

师：认识清楚扇形的定义和图形后，扇形的面积就成了我们师生在本节课共同要解决的问题，根据同学们预习的情况，你能类比“弧长”的学习方法，推导出“扇形的面积”吗？

（学生思考、讨论，教师深入其中参与小组互动，待大多数同学点头肯定后，请学生表述）

生5：老师，同样可以从“圆面积” 作为基础出发。

师：好，你说说。

生众：圆可以看作圆心角为360°的“大”扇形。

师：非常好！你不但把圆和扇形有机地联系起来，还用了一个“大”字，惟妙惟肖；（这个“大”字，体现了该生的数学思维和数学智慧，不但呈现了数学知识，还呈现了数学中的逻辑连贯的构建）请继续。

生5：因为圆面积是S=πR2，那么1°的圆心角所对的扇形面积就是

师：漂亮，“龙的眼睛出来了”！（教师作稍作停顿手势，使得绝大多数学生的思维都有一个缓冲的过程，都能跟上生的思维出发点，然后趁热打铁）那么2°、3°、4°…圆心角的扇形面积分别是多少？

生众：

师：好，已经初具规模了。（眼光继续凝视着生）接下来，你会给我们提出什么问题？

生5：n°圆心角的扇形面积是多少？

师：请生回答。

生6：n°圆心角所对的扇形面积为S=。

师：同学们真了不起！通過前半节课对“弧长”的学习，我们用类比的方法，同学们自身探讨除了“扇形的面积公式”，这种类比的学习，贯穿于整个中学数学基础知识的学习过程，同学们要好好地掌握它。

（评析：扇形的面积公式的学习，完全可以相信学生具有类比的思维能力，在学生已有认识的基础上把学习的主动性放手给学生，既尊重了学情，又调动了学生的积极性，更重要的是学生在师生共同营造的探究氛围中主动思考，突出了重点，突破了难点。）

（辅以3题适当的巩固练习）

师：现在我们可以总结：① 弧长的公式：l=

②扇形面积公式：S=

（在PPT上展示这两个公式）

师：这两个公式写在同一个位置，请同学们仔细观察，有什么问题可以思考吗？

（学生思考、讨论，教师深入其中。）

生7：和弧长公式相同，扇形面积公式中的n、360同样不带单位。

师：个中缘由刚才在弧长公式中已经阐述，关键词是“倍数关系”；还能观察出其他问题吗？

生8：从两个公式的联系和区别看，两个公式的分母不同，且扇形的面积公式中的R带有平方。

师：细微指出见真情！这也是我们学习这两个知识点（公式）的应用过程中必须清醒的一面，很有必要。还能再对这两个公式细细品味吗？

（学生陷入沉思，教室一片寂静）

师：（教师提示）如果对公式S=进行适当的“肢解”呢？能“凑”出一个弧长公式吗？（适当提示后，从很多学生的眼神中能读出“恍然大悟”）能试试吗？

生9：从公式S=能拆解出：S=·R，其中出现了，就是弧长公式的一部分。

生10：（抢着说）这样S扇=lR了。

（教师希望看到的就是这种“接龙”）

（教师板演S扇=lR）此结果，是通过比较扇形面积和弧长公式后，用弧长表示扇形S扇=lR）

（评析：“细细品味”，教师雅致略带“俏皮”的言语，悉心的牵引，促使学生构建逻辑连贯的数学思维，也有助于学生多角度探究问题意识的形成。）

（三）知能升级（施以适当的基础巩固练习及提高练习，略）

（四）整理反思

师：通过本节课的学习，同学们都有哪些收获？

生11：对弧长和扇形面积有了比较深刻的了解。

师：在这两个公式的推导过程中，我们抓住了哪些关键点？

生12：事先都是从整个圆入手，又抓住了“1°的圆心角”这一微观而又具体的知识点，循序渐进，直至n°圆心角，形成了“宏观—微观—宏观”的思维链条。

师：好样的，生的总结堪比数学老师还精辟。

生13：探究扇形面积公式与探究弧长的计算公式的思维和方法是一致的，用到了数学学习过程中的“类比”。

师：对，“类比”是数学学习过程中一种重要的思想方法，类比旧知学新知，是同学们学习数学新知识的有效策略。

（配合多媒体展示，教师总评）

弧长公式，扇形的定义，扇形的面积公式以及弧长公式与扇形面积公式之间的联系。（S扇=lR）

推导两个公式过程中的思路：宏观（圆）—微观（1°、2°、3°、…的圆心角—宏观（n°圆心角），体会到部分与整体之间的关系。

类比的数学学习方法在学习过程中的充分体现。

（五）布置作业：略

编辑 谢尾合