变量代换法和几类阿贝尔型方程的通解

倪　华，　周　雷，　张金浩，　梁新阳

(江苏大学理学院，江苏镇江212013)



变量代换法和几类阿贝尔型方程的通解

倪华，周雷，张金浩，梁新阳

(江苏大学理学院，江苏镇江212013)

[摘要]研究了几类阿贝尔型方程，利用变量代换法得到了方程的通解的充分性条件.

[关键词]阿贝尔方程； 变量代换法； 通解

非线性阿贝尔方程

(1)

在物理和工程应用中扮演着重要的角色[1-9]，在数学和物理方面它的许多性质被广泛研究，Matsuno[10]分析了和阿贝尔方程有联系的二维动力系统；Strobel and Reid[11], Reid and Strobel[12]得到了阿贝尔方程的特解的一些判断方法；Mak等[13], Mak and Harko[14]假设(1)存在一个特解的前提下，通过代换法，得到方程的通解存在性的一些准则；文[15]也给出了几类可以化为贝努利方程的特殊的阿贝尔方程，从而可以得到其通解；文[16]研究了一类周期系数的阿贝尔方程，得到其周期解的存在性和稳定性的一些充分性条件；然而，除了在一些特殊条件下，系统(1)一般是不可以通过初等积分法求出通解的；再者，除了简单的方程外，一般很难通过观察法得到其一个特解的.本文我们也研究几类特殊系数的阿贝尔型方程，利用变量代换法得到了方程的通解，并得到一个特解，获得了一些新的结论.

下面是本文的主要结论.

定理1考虑如下阿贝尔型方程

(2)

其中a(t),b(t)是区间I上具有连续导数的函数，若以下条件满足：

则方程(2)的通解为

是方程(2)的一个特解.

于是方程(2)可化为

(3)

(4)

(5)

根据一阶线性微分方程的通解公式，(5)的通解为

定理2考虑阿贝尔方程(1)，a(t),b(t)是区间I上具有连续导数的函数，若以下条件满足：

则阿贝尔方程(1)的通解为

是方程(1)的一个特解.

证

(6)

由条件(B2)，方程(6)化为

(7)

由条件(B3)，方程(7)化为

(8)

(9)

由条件(B1)，可知方程(9)满足定理1的条件，故根据定理1，可得方程(9)的通解为

(10)

(11)

例1求下列方程的解

(12)

例2求下列方程的解

(13)

定理3考虑方程(1),a(t),b(t)是区间I上具有连续导数的函数，若以下条件满足：

则阿贝尔方程(1)的通解为

证由条件(C1)，(C2)，方程(1)可化为

(14)

这是一个可分离变量的微分方程，易得方程(14)的通解为

例3求下列方程的解

(15)

解这里，a(t)=t,b(t)=3t2,c(t)=3t3,d(t)=t4-1，方程(15)满足定理3的所有条件，故方程(15)的通解为

φ(t)=-t是方程(15)的一个特解.

定理4考虑方程(1)，a(t),b(t),c(t)和d(t)是区间I上的连续函数，且

a(t)=a1(t)+a2(t),b(t)=b1(t)+b2(t),

a2(t),b2(t)在区间I上连续,a1(t),b1(t)在区间I上连续可微, 如果下列条件满足：

则方程 (1) 的通解可表示为

证由条件(D1),(D2),将

代入方程(1),方程(1)成为

(16)

(17)

(18)

(19)

由(19)式，根据一阶线性微分方程的通解公式可得(19)式的通解为

(20)

例4求解下列方程

(21)

解这里

在t>0时，方程(21)满足定理4的所有条件，故方程(21)的通解为

[参考文献]

[1]Lebrun J P M. On two coupled Abel-type differential equations arising in a magnet ostatic problem[J]. Il Nuovo Cimento, 1990,103A:1369-1379.

[2]Borghero and Melis A. On Szebehely’s problem for holonomic systems involving generalized potential functions[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 1990, 49:273-284.

[3]Bayn S S. Solutions of Einstein’s field equations for static fluid spheres[J]. Phys Rev, 1978,D18:2745-2751.

[4]Garcia A, Macias A and Mielke E W. Stewart-Lyth second order approach as an Abel equation for recon-structing inflationary dynamics[J]. Phys Lett, 1997, A229:32-36.

[5]Gavrilov V R, Ivashchuk V D and Melnikov V N. Multidimensional integrable vacuum cosmology with two curvatures[J]. Class Quantum Gray, 1996,13:3039-3056.

[6]Haager G and Mars M. A self-similar inhomogeneous dust cosmology[J]. Glass Quantum Gray, 1998,15:1567-1580.

[7]Mak M K and Harko T. Full causal bulk-viscous cosmological models[J]. J Math Phys, 1998,39:5458-5476.

[8]Mak M K and Harko T. Exact causal viscous cosmologies[J]. Gen Rel Gray,1998, 30: 1171-1186.

[9]Mak M K and Harko T. Addendum to ‘Exact causal viscous cosmologies’[J]. Gen Rel Gray,1999,31:273-274.

[10]Matsuno Y. Two-dimensional dynamical system associated with Abel′s nonlinear differential equation[J], J Math Phys, 1992,33:412-421.

[11]Strobel G L and Reid J L. Nonlinear superposition rule for Abel′s equation[J], Phys Left, 1982, 91A:209-210.

[12]Reid J L and Strobel G L. The nonlinear superposition theorem of Lie and Abel′s differential equations[J]. Lettere Al Nuovo Cimento, 1983, 38:448-452.

[13]Mak M K, Chan H W and Harko T. Solutions generating technique for Abel-type nonlinear ordinary differential equations[J]. Computers Math Applic, 2001,41:1395-1401.

[14]Mak M K and Harko T. New method for generating general solution of Abel differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2002,43:91-94.

[15]刘靖,管克英. 第一类阿贝尔方程可积性的初步研究[J]. 北京交通大学学报,2006,30(3):104-107.

[16]Ni Hua,Tian Li-xing, Zhang Hong. The existence and stability of the periodic solutions on Abel differential equation[J]. Mathematica Applicata, 2012,25(4):854-862.

Transformation Method and the General Solution of

Nonlinear Abel’s Differential Equation

NIHua,ZHOULei,ZHANGJin-hao,LIANGXin-yang

(Faculty of science，Jiangsu University, Zhenjiang Jangsu 212013, China)

Abstract:This paper deals with several classes of Abel’s differential equations, by using variable transformation method, we obtain the general solutions of the class of Abel’s differential equation.

Key words:Abel’s differential equation; transformation method; general solution

[基金项目]江苏大学高级人才基金资助项目(14JDG176); 江苏大学第13批大学生科研立项资助项目(Y13A125)

[收稿日期]2014-09-15;[修改日期]2015-01-07

[中图分类号]O175.14

[文献标识码]C

[文章编号]1672-1454(2015)01-0091-06